HDU - 1098 - Ignatius's puzzle （数论 - 费马小定理）

Ignatius's puzzle

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Problem Description

Ignatius is poor at math,he falls across a puzzle problem,so he has no choice but to appeal to Eddy. this problem describes that:f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x,input a nonegative integer k(k<10000),to find the minimal nonegative integer a,make the arbitrary integer x ,65|f(x)if
no exists that a,then print "no".

 

Input

The input contains several test cases. Each test case consists of a nonegative integer k, More details in the Sample Input.

 

Output

The output contains a string "no",if you can't find a,or you should output a line contains the a.More details in the Sample Output.

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    11
100
9999
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    22
no
43
   
   
   
   

 

Author

eddy

 

文章参考：点击打开链接

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式


费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

数论四大定理：百度百科（有费马小定理的证明）


对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：


（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)


（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))


（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2（k*a≡2(mod 5)）

（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有 k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)

因为题目说对于任意的x都有65能够整除f（x），所以k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)需要同时成立才行。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
	int k;
	while(scanf("%d", &k) != EOF) {
		int flag = 0;
		for(int i = 1; i <= 65; i++) {
			if(i * k % 13 == 8 && i * k % 5 ==2) {
				printf("%d\n", i);
				flag = 1;
				break;
			}
		}
		if(flag == 0) printf("no\n");
	}
	return 0;
}