Bellman-Ford 算法 & SPFA（单源最短路问题）

一、Bellman-Ford算法

Bellman-Ford 算法是单源最短路问题的一种算法，相比 Dijkstra 算法，它可以处理含有负权回路（也叫负权环，negative cycles）的图。

Dijkstra 算法以贪心法选取未被处理的具有最小权值的节点，然后对其的出边进行松弛操作；
而 Bellman-Ford 算法简单地对所有边进行松弛操作，共|V| − 1次，其中 |V|是图的点的数量。 —— [ 维基百科 ]

至于 Bellman-Ford 算法如何判定负权回路，先要证明不存在负权回路的图的最短路径最长不会经过超过V-1条边（也可以说是没有环，这种无环路径被称为简单路径）。
因为在图中，环有零环（环上边的权重和 = 0，正环和负环类似）、正环和负环三种。如果是正环，绕一圈后路径长度反而变长，所以对最短路径没有影响；绕零环一圈也没有影响；但如果遇到负环，最短路径可以不停的绕着这个环使得路径长度越来越短，也就是没有最短路径（最短路径长度为-∞）。
也就是说，正常情况下每条边最多被松弛V-1次（请自己思考为什么），只有负权回路上的边才可以无限地松弛。Bellman-Ford 算法判定的就是是否有边在第V-1次松弛后还能继续松弛。

//Bellman-Ford 算法
//distance[i]: 从源点(编号为0)到节点i的路径的距离
//weight[i]: 第i条边的权重

// 步骤1：初始化图
for (int i=0; i<N; i++)
    distance[v] = INF;
distance[0] = 0;

// 步骤2：重复对每一条边进行松弛操作
for (int k=0; k<V-1; k++)
    for (int i=0; i<E; i++)
        if (distance[u[i]] + weight[i] < distance[v[i]])
            distance[v[i]] = distance[u[i]] + weight[i]; //松弛

// 步骤3：检查负权环
for (int i=0; i<E; i++)
    if (distance[u[i]] + weight[i] < distance[v[i]])
        cout<<"图包含了负权环"<<endl;

当然，在步骤2中，不一定要找V-1次。在实际应用中，经常会在未达到V-1次前就出解，V-1其实是最大值。于是可以在循环中设置判定，在某次循环不再进行松弛时，直接退出循环，进行负权环判定。

// 步骤2：重复对每一条边进行松弛操作
bool flag; //判定标志
for (int k=0; k<V-1; k++)
{
    flag = true;
    for (int i=0; i<E; i++)
        if (distance[u[i]] + weight[i] < distance[v[i]])
        {
            distance[v[i]] = distance[u[i]] + weight[i]; //松弛
            flag = false;
        }
    if (flag) break; //这轮循环不再进行松弛
}

很明显，Bellman-Ford 算法的时间复杂度是O(|V||E|)。

二、SPFA

后来，出现了 SPFA (Shortest Path Faster Algorithm)，但一般国际上不承认，因为它实际上就是 Bellman-Ford 算法的队列实现。
相对 Bellman-Ford 算法，它减少了不必要的冗余计算。 算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素， 并对所有它的邻接点进行松弛，若某个邻接点松弛成功，则将其入队，直到队列为空。
不过奇怪的是，SPFA无法处理存在负权回路的图。
（程序略）
SPFA的最坏时间复杂度也是O(|V||E|)，与 Bellman-Ford 算法相同，但对于随机数据，SPFA往往只需要很短的时间就能求出最短路。