最长公共上升子序列（LCIS）的O(n^2)算法

写得非常好的一篇文章，来自：http://wenku.baidu.com/view/3e78f223aaea998fcc220ea0.html

另外杭电上的hdu 1423 考的就是这个.
Greatest Common Increasing Subsequence http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1423

预备知识：动态规划的基本思想，LCS，LIS。

问题：字符串a，字符串b，求a和b的LCIS（最长公共上升子序列）。

首先我们可以看到，这个问题具有相当多的重叠子问题。于是我们想到用DP搞。DP的首要任务是什么？定义状态。

1定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。

为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。

我们来考察一下这个这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。这个状态依赖于哪些状态呢？

首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。

那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i）

于是我们得出了状态转移方程：

a[i]!=b[j]:   F[i][j]=F[i-1][j]

a[i]==b[j]:   F[i][j]=max(F[i-1][k])+11<=k<=j-1&&b[j]>b[k]

不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。

但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。

如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令F[i][j]=max+1。

最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。

参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
intf[1005][1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max;
int main()
{
       scanf("%d",&t);
       while(t--)
       {
              scanf("%d%d",&n1,&n2);
              for(i=1;i<=n1;i++)scanf("%d",&a[i]);
              for(i=1;i<=n2;i++)scanf("%d",&b[i]);
              memset(f,0,sizeof(f));
              for(i=1;i<=n1;i++)
              {
                     max=0;
                     for(j=1;j<=n2;j++)
                     {
                            f[i][j]=f[i-1][j];
                            if(a[i]>b[j]&&max<f[i-1][j]) max=f[i-1][j];
                            if (a[i]==b[j])f[i][j]=max+1;
                     }
              }
              max=0;
              for(i=1;i<=n2;i++) if(max<f[n1][i]) max=f[n1][i];
              printf("%d\n",max);
       }
}

其实还有一个很风骚的一维的算法。在此基础上压掉了一维空间（时间还是平方）。i循环到x的时候，F[i]表示原来F[x][j]。之所以可以这样，是因为如果a[i]!=b[j]，因为F[x][j]=F[x-1][j]值不变，F[x]不用改变，沿用过去的就好了，和这个比较维护更新得到的max值依然是我们要的。而a[i]==b[j]的时候，就改变F[x]的值好了。具体结合代码理解。

参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
intf[1005],a[1005],b[1005],i,j,t,n1,n2,max;
int main()
{
       scanf("%d",&t);
       while(t--)
       {
              scanf("%d%d",&n1,&n2);
              for(i=1;i<=n1;i++)scanf("%d",&a[i]);
              for(i=1;i<=n2;i++)scanf("%d",&b[i]);
              memset(f,0,sizeof(f));
              for(i=1;i<=n1;i++)
              {
                     max=0;
                     for(j=1;j<=n2;j++)
                     {
                            if (a[i]>b[j]&&max<f[j])max=f[j];
                            if (a[i]==b[j])f[j]=max+1;
                     }
              }
              max=0;
              for(i=1;i<=n2;i++) if(max<f[i]) max=f[i];
              printf("%d\n",max);
       }
}