POJ-3735-Training little cats-构造矩阵+矩阵快速幂+稀疏矩阵乘法优化
http://poj.org/problem?id=3735
题意：
n只猫，三种命令：
1、第i只猫吃掉所有花生；
2、第i只猫得到一个花生；
3、交换第i，j只猫的花生；
先由k个 这些命令组成一个操作序列
然后重复操作序列m次，
n,k<=100,m<=1e9
m的次数那么大，可以用构造矩阵，然后用快速幂的方法
引用大神http://blog.csdn.net/magicnumber/article/details/6217602的图片
初始我们开一个1行n+1列的矩阵存放每只猫的初始值 第n+1行的前n个元素表示每只猫的花生数
org=【
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x y z 1
】
在n+1阶单位矩阵的基础上，
给第1 只猫加1个花生的操作矩阵G为：
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 1 第n+1行的第i列加1
让第2只猫吃完所有花生的操作矩阵E为：
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 第i列清空为0
交换第1 第2 只猫的操作矩阵S为：
0 1 0 0
1 0 0 0 交换第i第j列元素
0 0 1 0
0 0 0 1
********************************************************
我们可以发现，让org初始矩阵左乘一个G矩阵，得到
【
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
(x+1) Y Z 1
】
恰好就是X加了1
我们可以发现，让org初始矩阵左乘一个E矩阵，得到
【
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
X 0 Z 1
】
恰好就是吃光了Y
我们可以发现，让org初始矩阵左乘一个S矩阵，得到
【
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
y x Z 1
】
恰好就是交换了Y和X的花生
******************************************************
那么对于k^m次操作，我们先处理好前k次的操作
也就是用org初始矩阵不断乘G/E/S矩阵 得到前k次的结果 （PS：由于我们可以直接知道k次每次乘了操作矩阵后的结果(交换两列、清空行，指定位置加1),就可以不必模拟k次，直接得到k次的结果了 ）
接下来就是对k次得到结果矩阵X 连续左乘m次。。。这里就用个快速幂就OK，然而每次乘法O(N^3),log(m)≈26 所以还需要优化一下乘法部分，
因为显然大部分元素为0，是稀疏矩阵，我们可以用系数矩阵乘法优化
一般矩阵乘法：
Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{
Matrix res;
for(int i = 0; i < k; i++)
for(int j = 0; j < k; j++)
{
res.mat[i][j] = 0;
for(int t = 0; t < k; t++)
{
res.mat[i][j] += a.mat[i][t] * b.mat[t][j];
res.mat[i][j] %= mod;
}
}
return res;
}
稀疏矩阵：
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
matrix res;
memset(res.m,0,sizeof(res.m));
__int64 i,j,k;
for (i=1;i<=n+1;i++)
{
for (j=1;j<=n+1;j++)
{
if (a.m[i][j]) //稀疏矩阵乘法(非O(n^3)), 即知道答案为零直接跳过
for (k=1;k<=n+1;k++)
{
res.m[i][k]+=a.m[i][j]*b.m[j][k];
}
}
}
return res;
}
从而解决问题,
难点是稀疏矩阵优化/构造操作矩阵
代码：
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
struct matrix
{
__int64 m[105][105];
};
matrix unit_org;
matrix unit;
__int64 n,k;
int m;
void init()
{
char op;
__int64 num,num1,num2,i,j;
for (j=1;j<=k;j++)
{
scanf("%c",&op);
if (op=='g')
{
scanf("%I64d",&num);
getchar();
unit.m[n+1][num]++; //第num个+1
}
if (op=='e')
{
scanf("%I64d",&num);
getchar();
for (i=1;i<=n+1;i++)
unit.m[i][num]=0; //第num列置为零
}
if (op=='s')
{
scanf("%I64d%I64d",&num1,&num2);
getchar();
if (num1==num2) continue;
for (i=1;i<=n+1;i++) //交换两列
{
num=unit.m[i][num1];
unit.m[i][num1]=unit.m[i][num2];
unit.m[i][num2]=num;
}
}
}
}
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
matrix res;
memset(res.m,0,sizeof(res.m));
__int64 i,j,k;
for (i=1;i<=n+1;i++)
{
for (j=1;j<=n+1;j++)
{
if (a.m[i][j]) //稀疏矩阵乘法(非O(n^3)), 即知道答案为零直接跳过
for (k=1;k<=n+1;k++)
{
res.m[i][k]+=a.m[i][j]*b.m[j][k];
}
}
}
return res;
}
matrix pow_mi(matrix a,int b)
{
matrix res=unit_org;
while(b)
{
if (b&1)
res=mul(res,a);
a=mul(a,a);
b>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
__int64 i,j;
while(scanf("%I64d%d%I64d",&n,&m,&k)!=EOF)
{
getchar();
if (!n&&!m&&!k) break;
memset(unit.m,0,sizeof(unit.m));
for (i=1;i<=101;i++)
unit.m[i][i]=1;
unit_org=unit;
init();
matrix ans= pow_mi(unit,m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
if (i!=1) printf(" ");
printf("%I64d",ans.m[n+1][i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}