NumberOfDiscIntersections--重点

Problem:
We draw N discs on a plane. The discs are numbered from 0 to N − 1. A zero-indexed array A of N non-negative integers, specifying the radiuses of the discs, is given. The J-th disc is drawn with its center at (J, 0) and radius A[J].

We say that the J-th disc and K-th disc intersect if J ≠ K and the J-th and K-th discs have at least one common point (assuming that the discs contain their borders).

The figure below shows discs drawn for N = 6 and A as follows:

A[0] = 1
A[1] = 5
A[2] = 2
A[3] = 1
A[4] = 4
A[5] = 0

There are eleven (unordered) pairs of discs that intersect, namely:

discs 1 and 4 intersect, and both intersect with all the other discs;
disc 2 also intersects with discs 0 and 3.
Write a function:

class Solution { public int solution(int[] A); }

that, given an array A describing N discs as explained above, returns the number of (unordered) pairs of intersecting discs. The function should return −1 if the number of intersecting pairs exceeds 10,000,000.

Given array A shown above, the function should return 11, as explained above.

Assume that:

N is an integer within the range [0..100,000];
each element of array A is an integer within the range [0..2,147,483,647].
Complexity:

expected worst-case time complexity is O(N*log(N));
expected worst-case space complexity is O(N), beyond input storage (not counting the storage required for input arguments).
Elements of input arrays can be modified.

解答：

My method and understanding

问题可以简化成若干个1D的intervals, 每个interval的中点有序，求相交的pair 数目。[startpoint, endpoint]

这里需要注意的就是每个interval 代表一个disc，每个disc的center都是从0到N-1的连续integer，所以我们要从第一个disc开始遍历，check这个disc是否与其他的discs相交。把这个问题再抽象一点，

就是对于第i个current disc，我们要check他后面的discs j(j>i) 有多少与current disc相交。我们不care 是否第i个disc之前的disc是否相交

这里要求O(N*log(N))，很容易想到要sort，其实还可以想到要tranverse一个N array，即O(N), 然后每一element进行一次binary search，每次binary search时O(logN), 最后也是O(N*log(N))

对于第i个current disc, 我要check 其end point在start point list中的位置，所以先sort start point list, 然后使用binary search，得到index。

每一个s是startpoint list的元素，已经sorted成ascending order. 我们将问题进一步formulate成 s1,s2,...,sindex,ei,sindex+1 , ei 经过binary search 发现恰好位于 [sindex,sindex+1] 之间。现在我们要说明的就是, 在disc j(j>i)中，与current disc相交的disc 数目= index - 1 - (i-1)个。1代表第i个disc的s_i也在 [s1,sindex] 之间，应该排除掉。(i-1)代表第i个disc之前的discs，这里我们不考虑，我们要考虑第i个disc之后的discs中有多少与第i个相交。

其实 [s1,sindex] 由三个部分组成，

第一个自然是 si ,对应第i个disc的start point.

第二部分就是 sn,n<i ，就是第i个disc之前的所有disc的start point, 因为disc的摆放顺序，后面的disc的中点要大于前面disc的中点，所以， 2sn<sn+en<si+ei<2ei ， 所以当我们在start point的sorted list里面搜索e_i时，所有的 sn 肯定在 [s1,sindex] 内部。

第三部分就是 sm,i<m<index ，是我们的解空间 sm,m>i 中的一部分，正是我们想要的，那么这部分中又有多少与第i个disc相交的呢？答案是所有。因为 2em>sm+em>si+ei>2si , i.e. em>si ，即所有 sm 对应的 em 都是大于 si 的，把 si 包括在 sm 到 em 之间，所以一定会与第i个disc相交。

因此，我们只需要求得第i个disc的end point 在ascending的start point list中的index，就可以求出其与后面的discs相交的次数。

Other O(N*logN) understanding

http://rafal.io/posts/codility-intersecting-discs.html
http://codesays.com/2014/solution-to-beta2010-number-of-disc-intersections-by-codility/

Here is a O(N)

http://stackoverflow.com/questions/4801242/algorithm-to-calculate-number-of-intersecting-discs

http://www.careercup.com/question?id=15519765