hdu 3068 最长回文 （manacher算法）

manacher算法

回文串定义：“回文串”是一个正读和反读都一样的字符串，比如“level”或者“noon”等等就是回文串。

回文子串，顾名思义，即字符串中满足回文性质的子串。

经常有一些题目围绕回文子串进行讨论，求最长回文子串的长度。朴素算法是依次以每一个字符为中心向两侧进行扩展，显然这个复杂度是O(N^2)的，关于字符串的题目常用的算法有KMP、后缀数组、AC自动机，这道题目利用扩展KMP可以解答，其时间复杂度也很快O(N*logN)。但是，今天笔者介绍一个专门针对回文子串的算法，其时间复杂度为O(n)，这就是manacher算法。

大家都知道，求回文串时需要判断其奇偶性，也就是求aba和abba的算法略有差距。然而，这个算法做了一个简单的处理，很巧妙地把奇数长度回文串与偶数长度回文串统一考虑，也就是在每个相邻的字符之间插入一个分隔符，串的首尾也要加，当然这个分隔符不能再原串中出现，一般可以用‘#’或者‘$’等字符。例如：

原串：abaab

新串：#a#b#a#a#b#

这样一来，原来的奇数长度回文串还是奇数长度，偶数长度的也变成以‘#’为中心的奇数回文串了。

接下来就是算法的中心思想，用一个辅助数组P记录以每个字符为中心的最长回文半径，也就是P[i]记录以Str[i]字符为中心的最长回文串半径。P[i]最小为1，此时回文串为Str[i]本身。

我们可以对上述例子写出其P数组，如下

新串： # a # b # a # a # b #

P[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1

我们可以证明P[i]-1就是以Str[i]为中心的回文串在原串当中的长度。

证明：

1、显然L=2*P[i]-1即为新串中以Str[i]为中心最长回文串长度。

2、以Str[i]为中心的回文串一定是以#开头和结尾的，例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以L减去最前或者最后的‘#’字符就是原串中长度的二倍，即原串长度为(L-1)/2，化简的P[i]-1。得证。

依次从前往后求得P数组就可以了，这里用到了DP(动态规划)的思想，也就是求P[i]的时候，前面的P[]值已经得到了，我们利用回文串的特殊性质可以进行一个大大的优化。

为了防止求P[i]向两边扩展时可能数组越界，我们需要在数组最前面和最后面加一个特殊字符，令P[0]=‘$’最后位置默认为‘\0’不需要特殊处理。此外，我们用Maxid变量记录在求i之前的回文串中，延伸至最右端的位置，同时用id记录取这个Maxid的id值。通过下面这句话，算法避免了很多没必要的重复匹配。

if(MaxId>i)
{
    p[i]=Min(p[2*id-i],MaxId-i);
}

那么这句话是怎么得来的呢，其实就是利用了回文串的对称性，如下图，

j=2*id-1即为i关于id的对称点，根据对称性，P[j]的回文串也是可以对称到i这边的,但是如果P[j]的回文串对称过来以后超过MaxId的话，超出部分就不能对称过来了，如下图，所以这里P[i]为的下限为两者中的较小者，p[i]=Min(p[2*id-i],MaxId-i)。

算法的有效比较次数为MaxId次，所以说这个算法的时间复杂度为O(n)。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int N=110005;
int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
char str[N<<1];
int p[N<<1];
int Manacher(char *s)
{
    int i,len=strlen(s),Len;
    int id,Max,Size;
    str[0]='$';
    str[1]='#';
    for(i=1;i<=len;i++)
    {
        str[i<<1]=s[i-1];
        str[(i<<1)+1]='#';
    }
    Len=i<<1;
    str[Len]='\0';
    Max=Size=0;
    for(i = 1; i < Len; i++)
    {
        if(Size>i)
        {
            p[i]=min(p[2*id-i],Size-i);
        }
        else
        {
            p[i]=1;
        }
        while(str[i+p[i]]==str[i-p[i]])
        {
            p[i]++;
        }
        if(p[i]+i>Size)
        {
            Size=p[i]+i;
            id=i;
        }
        if(p[i]>Max)
        {
            Max=p[i];
        }
    }
    return Max-1;
}
int main()
{
    char s[N];
    while(~scanf("%s",s))
    {
        printf("%d\n",Manacher(s));
    }
    return 0;
}