欧拉图，欧拉回路，以及求欧拉回路的Fleury算法

1、定义：

欧拉通路(回路)：通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的

    通路(回路)称为欧拉通路(回路)。

欧拉图与半欧拉图：具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的

    图称为半欧拉图。

桥：设无向图G=<V,E>，若存在边集E的一个非空子集E1，使得p(G-E1)>p(G)，而对

    于E1的任意真子集E2，均有p(G-E2)=p(G)，则称E1是G的边割集，或简称割集；

    若E1是单元集，即E1={e}，则称e为割边或桥。[p(G)表示图G的连通分支数.]

 

2、定理：

<无向图>

定理1：无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。

定理2：无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。

 

<有向图>

定理1：有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度都等于出度。

定理2：有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其

       中一个入度比出度大1，另一个的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于

       出度。

 

3、求欧拉回路的Fleury算法：

   设G为欧拉图，一般说来G中存在若干条欧拉回路，下面是求欧拉回路的Fleury算法：

Fleury算法：

（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0；

（2）设Pi=v0e1v1e2...eivi已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,...,ei}中选

     取ei+1：

    （a）ei+1与vi想关联；

    （b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,...,ei}中的桥.

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

可以证明，当算法停止时所得简单回路Pm=v0e1v1e2...emvm（vm=v0）为G中的一条欧拉回路。