卡特兰数
卡特兰数
卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
卡特兰公式的应用很广泛，最典型的四种应用问题现描述如下：
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？
Catalan数的解法
1.Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
2.此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。
令h(1)=1,h(0)=1，catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5
另类递归式：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
维基百科资料:
卡塔兰数
卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。
卡塔兰数的一般项公式为
另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786,
208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,
6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
性质
Cn的另一个表达形式为 所以，Cn是一个自然数；这一点在
先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础(见下文第二个证明)
卡塔兰数满足以下递推关系
它也满足 这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡塔兰数的渐近增长为
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）
所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2k ? 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。
应用
组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。
在Enumerative Combinatorics: Volume 2一书习题中包括66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。
以下用Cn=3和Cn=4举若干例：
1、Cn表示长度2n的dyck word的个数。
Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。
以下为长度为6的dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
2、将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
3、Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。
4、Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。
（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）
证明：
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右
扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，
下面考虑不满足要求的数目。考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，
扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），
则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，
则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。
从而。证毕。
5、Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。
一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。
计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。
下图为n = 4的情况：
6、Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：
7、Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。
一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，
其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) =S(u)S(v)n，
其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
8、Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数.
那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，
其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明
that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero.
This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
9、Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:
百度百科资料 :
简介
中文:卡特兰数
Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。
令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +
+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,
)另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1 , 1 , 2 , 5 , 14 , 42 , 132 , 429 , 1430 , 4862 , 16796 ,
我总结了一下，最典型的四类应用：
1.括号化问题。
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：
(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人
(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：
(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？(一定是二叉树!)
先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,
+ h(n-1)h(0)=h(n)) （能构成h（N）个）