POJ1753 Flip Game 高斯消元

题目链接：http://poj.org/problem?id=1753

题目大意：有一个4×4的棋盘，棋盘上每一点都有黑白两面，每次可以翻转任意一点，在翻转某一点时，该点上下左右的4个临近点同时也会被翻转，现在问你要使棋盘上所有点的颜色统一所需要的最小翻转次数。

分析：典型的高斯消元，不过也可以用DFS来做，具体参考：点击打开链接。用高消做的话，由系数矩阵可以得知该方程组的秩为12小于16，故方程是没有唯一解的，要找最小的解，只需枚举x11,x12,x13,x14可能的16种取值，然后计算即可。

实现代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int inf=0x3fffffff;
const int maxn=16;
int a[maxn][maxn+1],b[maxn][maxn+1],x[maxn];//a是系数矩阵和增广矩阵，x存放最后的解
int equ,var,free_n;//equ是系数矩阵的行数，var个变元（即系数矩阵的列数）
void Debug()
{
   for(int i=0;i<equ;i++)
   {
      for(int j=0;j<var+1;j++)
        cout<<a[i][j]<<" ";
      cout<<endl;
   }
}
void Init()
{
    char ch;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(x,0,sizeof(x));
    for(int i=0;i<4;i++)
      for(int j=0;j<4;j++)
      {
          if(i>0) a[ (i-1)*4+j ][i*4+j]=1;
          if(i<3) a[ (i+1)*4+j ][i*4+j]=1;
          if(j>0) a[ i*4+(j-1) ][i*4+j]=1;
          if(j<3) a[ i*4+(j+1) ][i*4+j]=1;
          a[i*4+j][i*4+j]=1;
          cin>>ch;
          a[i*4+j][16]=(ch=='b');
      }
}
int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b;
}
int gcd(int a,int b)
{
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    if(b<0) return gcd(a,-b);
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int Gauss()
{
    int k,col=0; //当前处理的列
    for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
    {
        int mx=k;
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(a[i][col]>a[mx][col]) mx=i;
        if(mx!=k)
          for(int i=k;i<var+1;i++) swap(a[k][i],a[mx][i]);
        if(!a[k][col]) { k--; continue; }
        for(int i=k+1;i<equ;i++)
          if(a[i][col]!=0)
          {
              int lcm=a[k][col] / gcd(a[k][col],a[i][col]) * a[i][col];
              int ta=lcm/a[i][col], tb=lcm/a[k][col];
              if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb;
              for(int j=col;j<var+1;j++)
                a[i][j]=( (a[i][j]*ta)%2 - (a[k][j]*tb)%2 +2 )%2;
          }
    }
    //Debug();
    for(int i=k;i<equ;i++)
      if(a[i][var]) return inf; //无解
    for(int i=0,j;i<equ;i++) //每一行主元素化为非零
      if(!a[i][i])
      {
          for(j=i+1;j<var;j++)
            if(a[i][j]) break;
          if(var==j) break;
          for(int r=0;r<equ;r++) swap(a[r][i],a[r][j]);
      }
    //cout<<(euq-k)<<endl; 
    int Min=inf;
    for(int j=0;j<(1<<(equ-k));j++) 
     {//枚举16种情况，分别回带
        int tmp=j,p=equ-1;
        while(tmp) x[p--]=tmp%2,tmp>>=1;
        for(int i=k-1;i>=0;i--)
        {  //回带
          int tmp=a[i][var]%2;
          for(int j=i+1;j<var;j++)
             if(a[i][j]) tmp=(tmp-a[i][j]*x[j]%2+2)%2;
          x[i]=(tmp/a[i][i])%2;
        }
        tmp=0; //纪录改变的方格数
        for(int i=0;i<16;i++) tmp+=x[i];
        Min=min(Min,tmp);
     }
     return Min;
}
int main()
{
    equ=16,var=16;
    Init();
    for(int i=0;i<16;i++)
      for(int j=0;j<=16;j++)
        b[i][j]=a[i][j];
    for(int i=0;i<16;i++) b[i][16]^=1;
    int ans=Gauss();
    for(int i=0;i<16;i++)
      for(int j=0;j<=16;j++)
        a[i][j]=b[i][j];
    memset(x,0,sizeof(x));
    ans=min(ans,Gauss());
    if(ans==inf) puts("Impossible");
    else printf("%d\n",ans);
    return 0;
}