UVa:10229 Modular Fibonacci

本来以为要用矩阵，结果在网上无意中看到斐波那契数列的另一个通项公式，于是写了一个，试了最大数据，果断超时，然后加了个记忆化，然后就AC了。。

贴吧上看到的。

Fibonacci数是组合数学中非常重要的一个数列，它的递推公式是：
　　F(1)=F(2)=1
　　F(n)=F(n-1)+F(n-2)
　　当然，用这个公式来计算F(n)是非常慢的，当计算F(n)时需要从F(1)一直计算到F(n)。Fibonacci数列还满足一些其他的公式，如：
　　F(a+b+1)=F(a+1)*F(b+1)+F(a)*F(b)
　　利用这个公式，可以加速Fibonacci数的计算。我们考虑同时计算F(2n+1)和F(2n)，则按照上面的公式：
　　F(2n+1)=F(n+1)*F(n+1)+F(n)*F(n)
　　F(2n)=F(n+1)*F(n)+F(n)*F(n-1)=F(n+1)*F(n)+F(n)*(F(n+1)-F(n))
　　这样，F(2n+1)和F(2n)的计算变为了F(n+1)和F(n)的计算，即下标变为了原来的一半。重复利用这种方法，可以每次让下标变为原来的一半，总共需要大约log n次计算(以2为底)。
　　当n较大时，后面的方法就比直接的递推要快得多，比如当n=1000000时，后面的方法大概需要20次计算，而直接递推的方法大概需要1000000次计算

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define INF 2139062143
#define MAXN 1005
using namespace std;
int mod[25];
int MOD;
map<ll ,int > key;
ll fib(ll val)
{
    if(val==1) return 1;
    if(val==0) return 0;
    if(val==2) return 1;
    if(key[val]) return key[val];
    if(val%2)
    {
        ll a=fib(val/2+1)%MOD,b=fib(val/2)%MOD;
        return key[val]=(a*a%MOD+b*b%MOD)%MOD;
    }
    else
    {
        ll a=fib(val/2+1)%MOD,b=fib(val/2)%MOD,c=fib(val/2-1)%MOD;
        return key[val]=(a*b%MOD+b*c%MOD)%MOD;
    }
}
int main()
{
    for(int i=0; i<=22; ++i) mod[i]=pow(2.0,i);
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        key.clear();
        MOD=mod[m];
        printf("%lld\n",fib(n));
    }
    return 0;
}