Misdom_Tian_Ya

线段树

转自http://blog.csdn.net/metalseed/article/details/8039326

一：线段树基本概念

1：概述

线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!

性质：父亲的区间是[a,b],左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，其中c为(a+b)/2，线段树需要的空间为数组大小的四倍

2：基本操作

线段树的主要操作有：

(1)：线段树的构造 void build(int node, intbegin, int end);

主要思想是递归构造，如果当前节点记录的区间只有一个值，则直接赋值，否则递归构造左右子树，最后回溯的时候给当前节点赋值

1. #include <iostream>

2. using namespace std;

3. const int maxind = 256;

4. int segTree[maxind * 4 + 10];

5. int array[maxind];

7. void build(int node, int begin, int end) /* 构造函数，得到线段树 */

8. {

9. if (begin == end)

10. segTree[node] = array[begin]; /* 只有一个元素,节点记录该单元素 */

11. else

12. {

13. build(2*node, begin, (begin+end)/2); /* 递归构造左子树 */

14. build(2*node+1, (begin+end)/2+1, end); /* 递归构造右子树 */

15.

16. /* 回溯时得到当前node节点的线段信息 */

17. segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);

18.

19. }

20. }

21.

22. int main()

23. {

24. array[0] = 1, array[1] = 2,array[2] = 2, array[3] = 4, array[4] = 1, array[5] = 3;

25. build(1, 0, 5);

26. for(int i = 1; i<=20; ++i)

27. cout<< "seg"<< i << "=" <<segTree[i] <<endl;

28. return 0;

29. }

2)：区间查询int query(int node, int begin, int end, int left, int right);

（其中node为当前查询节点，begin,end为当前节点存储的区间，left,right为此次query所要查询的区间）

主要思想是把所要查询的区间[a,b]划分为线段树上的节点，然后将这些节点代表的区间合并起来得到所需信息

比如前面一个图中所示的树，如果询问区间是[0,2]，或者询问的区间是[3,3]，不难直接找到对应的节点回答这一问题。

int query(int node, int begin, int end, int left, int right)

1. {

2. int p1, p2;

3. if (left > end || right < begin) /* 查询区间和要求的区间没有交集 */

4. return -1;

6. if (begin >= left && end <= right)

7. return segTree[node];

9. p1 = query(2 * node, begin, (begin + end) / 2, left, right); /* 计算区间左半部与右半部的最小值 */

10. p2 = query(2 * node + 1, (begin + end) / 2 + 1, end, left, right);

11.

1. /* 返回确切的值 */

12. if (p1 == -1)

13. return p2;

14. if (p2 == -1)

15. return p1;

16. if (p1 <= p2)

17. return p1;

18. return p2;

19. }

(3)：区间或节点的更新及线段树的动态维护update （这是线段树核心价值所在，节点中的标记域可以解决N多种问题）

动态维护需要用到标记域，延迟标记等。

a:单节点更新

1. void Updata(int node, int begin, int end, int ind, int add)/*单节点更新*/

1. {

2. if( begin == end )

3. {

4. segTree[node] += add;

5. return ;

6. }

7. int m = ( left + right )/2;

8. if(ind <= m)

9. Updata(node * 2,left, m, ind, add);

10. else

11. Updata(node * 2 + 1, m + 1, right, ind, add);

12. /*回溯更新父节点*/

13. segTree[node] = min(segTree[node * 2], segTree[node * 2 + 1]);

14.

15. }

16.

17. b：区间更新（线段树中最有用的）

需要用到延迟标记，每个结点新增加一个标记，记录这个结点是否被进行了某种修改操作(这种修改操作会影响其子结点)。对于任意区间的修改，我们先按照查询的方式将其划分成线段树中的结点，然后修改这些结点的信息，并给这些结点标上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个结点p，并且决定考虑其子结点，那么我们就要看看结点p有没有标记，如果有，就要按照标记修改其子结点的信息，并且给子结点都标上相同的标记，同时消掉p的标记。（优点在于，不用将区间内的所有值都暴力更新，大大提高效率，因此区间更新是最优用的操作）

1. void Change(node *p, int a, int b) /* 当前考察结点为p，修改区间为(a,b]*/

2. {

3. if (a <= p->Left && p->Right <= b)

4. /* 如果当前结点的区间包含在修改区间内*/

5. {

6. ...... /* 修改当前结点的信息，并标上标记*/

7. return;

8. }

9. Push_Down(p); /* 把当前结点的标记向下传递*/

10. int mid = (p->Left + p->Right) / 2; /* 计算左右子结点的分隔点

11. if (a < mid) Change(p->Lch, a, b); /* 和左孩子有交集，考察左子结点*/

12. if (b > mid) Change(p->Rch, a, b); /* 和右孩子有交集，考察右子结点*/

13. Update(p); /* 维护当前结点的信息（因为其子结点的信息可能有更改）*/

14. }

3:主要应用

(1)：区间最值查询问题（见模板1）

(2)：连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题（见模板2）

二：典型模板

模板1：

RMQ，查询区间最值下标---min

1. #include<iostream>

3. using namespace std;

5. #define MAXN 100

6. #define MAXIND 256 //线段树节点个数

8. //构建线段树,目的:得到M数组.

9. void build(int node, int b, int e, int M[], int A[])

10. {

11. if (b == e)

12. M[node] = b; //只有一个元素,只有一个下标

13. else

14. {

15. build(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A);

16. build(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A);

17.

18. if (A[M[2 * node]] <= A[M[2 * node + 1]])

19. M[node] = M[2 * node];

20. else

21. M[node] = M[2 * node + 1];

22. }

23. }

24.

25. //找出区间 [i, j] 上的最小值的索引

26. int query(int node, int b, int e, int M[], int A[], int i, int j)

27. {

28. int p1, p2;

29.

30. //查询区间和要求的区间没有交集

31. if (i > e || j < b)

32. return -1;

33.

34. if (b >= i && e <= j)

35. return M[node];

36.

37. p1 = query(2 * node, b, (b + e) / 2, M, A, i, j);

38. p2 = query(2 * node + 1, (b + e) / 2 + 1, e, M, A, i, j);

39.

40. //return the position where the overall

41. //minimum is

42. if (p1 == -1)

43. return M[node] = p2;

44. if (p2 == -1)

45. return M[node] = p1;

46. if (A[p1] <= A[p2])

47. return M[node] = p1;

48. return M[node] = p2;

49.

50. }

51.

52.

53. int main()

54. {

55. int M[MAXIND]; //下标1起才有意义,否则不是二叉树,保存下标编号节点对应区间最小值的下标.

56. memset(M,-1,sizeof(M));

57. int a[]={3,4,5,7,2,1,0,3,4,5};

58. build(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a);

59. cout<<query(1, 0, sizeof(a)/sizeof(a[0])-1, M, a, 0, 5)<<endl;

60. return 0;

61. }

模板2：

连续区间修改或者单节点更新的动态查询问题（此模板查询区间和）

1. #include <cstdio>

2. #include <algorithm>

3. using namespace std;

5. #define lson l , m , rt << 1

6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

7. #define root 1 , N , 1

8. #define LL long long

9. const int maxn = 111111;

10. LL add[maxn<<2];

11. LL sum[maxn<<2];

12. void PushUp(int rt) {

13. sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

14. }

15. void PushDown(int rt,int m) {

16. if (add[rt]) {

17. add[rt<<1] += add[rt];

18. add[rt<<1|1] += add[rt];

19. sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));

20. sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);

21. add[rt] = 0;

22. }

23. }

24. void build(int l,int r,int rt) {

25. add[rt] = 0;

26. if (l == r) {

27. scanf("%lld",&sum[rt]);

28. return ;

29. }

30. int m = (l + r) >> 1;

31. build(lson);

32. build(rson);

33. PushUp(rt);

34. }

35. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

36. if (L <= l && r <= R) {

37. add[rt] += c;

38. sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);

39. return ;

40. }

41. PushDown(rt , r - l + 1);

42. int m = (l + r) >> 1;

43. if (L <= m) update(L , R , c , lson);

44. if (m < R) update(L , R , c , rson);

45. PushUp(rt);

46. }

47. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

48. if (L <= l && r <= R) {

49. return sum[rt];

50. }

51. PushDown(rt , r - l + 1);

52. int m = (l + r) >> 1;

53. LL ret = 0;

54. if (L <= m) ret += query(L , R , lson);

55. if (m < R) ret += query(L , R , rson);

56. return ret;

57. }

58. int main() {

59. int N , Q;

60. scanf("%d%d",&N,&Q);

61. build(root);

62. while (Q --) {

63. char op[2];

64. int a , b , c;

65. scanf("%s",op);

66. if (op[0] == 'Q') {

67. scanf("%d%d",&a,&b);

68. printf("%lld\n",query(a , b ,root));

69. } else {

70. scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

71. update(a , b , c , root);

72. }

73. }

74. return 0;

75. }

三：练习题目

下面是hh线段树代码，典型练习哇~

在代码前先介绍一些我的线段树风格:

· maxn是题目给的最大区间,而节点数要开4倍,确切的来说节点数要开大于maxn的最小2^x的两倍

· lson和rson分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示

· 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合lson和rson的预定义可以很方便

· PushUP(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点

· PushDown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点

· rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

整理这些题目后我觉得线段树的题目整体上可以分成以下四个部分:

单点更新:最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用PushUP(int r)这个函数更新上来

· hdu1166 敌兵布阵

· 题意:O(-1)

· 思路:O(-1)
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

code:

1. #include<cstring>

2. #include<iostream>

4. #define M 50005

5. #define lson l,m,rt<<1

6. #define rson m+1,r,rt<<1|1

7. /*left,right,root,middle*/

9. int sum[M<<2];

10.

11. inline void PushPlus(int rt)

12. {

13. sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

14. }

15.

16. void Build(int l, int r, int rt)

17. {

18. if(l == r)

19. {

20. scanf("%d", &sum[rt]);

21. return ;

22. }

23. int m = ( l + r )>>1;

24.

25. Build(lson);

26. Build(rson);

27. PushPlus(rt);

28. }

29.

30. void Updata(int p, int add, int l, int r, int rt)

31. {

32.

33. if( l == r )

34. {

35. sum[rt] += add;

36. return ;

37. }

38. int m = ( l + r ) >> 1;

39. if(p <= m)

40. Updata(p, add, lson);

41. else

42. Updata(p, add, rson);

43.

44. PushPlus(rt);

45. }

46.

47. int Query(int L,int R,int l,int r,int rt)

48. {

49. if( L <= l && r <= R )

50. {

51. return sum[rt];

52. }

53. int m = ( l + r ) >> 1;

54. int ans=0;

55. if(L<=m )

56. ans+=Query(L,R,lson);

57. if(R>m)

58. ans+=Query(L,R,rson);

59.

60. return ans;

61. }

62. int main()

63. {

64. int T, n, a, b;

65. scanf("%d",&T);

66. for( int i = 1; i <= T; ++i )

67. {

68. printf("Case %d:\n",i);

69. scanf("%d",&n);

70. Build(1,n,1);

71.

72. char op[10];

73.

74. while( scanf("%s",op) &&op[0]!='E' )

75. {

76.

77. scanf("%d %d", &a, &b);

78. if(op[0] == 'Q')

79. printf("%d\n",Query(a,b,1,n,1));

80. else if(op[0] == 'S')

81. Updata(a,-b,1,n,1);

82. else

83. Updata(a,b,1,n,1);

84.

85. }

86. }

87. return 0;

88. }

hdu1754 I HateIt
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:单点替换 query:区间最值

1. #include <cstdio>

2. #include <algorithm>

3. using namespace std;

5. #define lson l , m , rt << 1

6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

7. const int maxn = 222222;

8. int MAX[maxn<<2];

9. void PushUP(int rt) {

10. MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);

11. }

12. void build(int l,int r,int rt) {

13. if (l == r) {

14. scanf("%d",&MAX[rt]);

15. return ;

16. }

17. int m = (l + r) >> 1;

18. build(lson);

19. build(rson);

20. PushUP(rt);

21. }

22. void update(int p,int sc,int l,int r,int rt) {

23. if (l == r) {

24. MAX[rt] = sc;

25. return ;

26. }

27. int m = (l + r) >> 1;

28. if (p <= m) update(p , sc , lson);

29. else update(p , sc , rson);

30. PushUP(rt);

31. }

32. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

33. if (L <= l && r <= R) {

34. return MAX[rt];

35. }

36. int m = (l + r) >> 1;

37. int ret = 0;

38. if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));

39. if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));

40. return ret;

41. }

42. int main() {

43. int n , m;

44. while (~scanf("%d%d",&n,&m)) {

45. build(1 , n , 1);

46. while (m --) {

47. char op[2];

48. int a , b;

49. scanf("%s%d%d",op,&a,&b);

50. if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));

51. else update(a , b , 1 , n , 1);

52. }

53. }

54. return 0;

55. }

hdu1394 Minimum Inversion Number
题意:求Inversion后的最小逆序数
思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解
线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

1. #include <cstdio>

2. #include <algorithm>

3. using namespace std;

5. #define lson l , m , rt << 1

6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

7. const int maxn = 5555;

8. int sum[maxn<<2];

9. void PushUP(int rt) {

10. sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

11. }

12. void build(int l,int r,int rt) {

13. sum[rt] = 0;

14. if (l == r) return ;

15. int m = (l + r) >> 1;

16. build(lson);

17. build(rson);

18. }

19. void update(int p,int l,int r,int rt) {

20. if (l == r) {

21. sum[rt] ++;

22. return ;

23. }

24. int m = (l + r) >> 1;

25. if (p <= m) update(p , lson);

26. else update(p , rson);

27. PushUP(rt);

28. }

29. int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

30. if (L <= l && r <= R) {

31. return sum[rt];

32. }

33. int m = (l + r) >> 1;

34. int ret = 0;

35. if (L <= m) ret += query(L , R , lson);

36. if (R > m) ret += query(L , R , rson);

37. return ret;

38. }

39. int x[maxn];

40. int main() {

41. int n;

42. while (~scanf("%d",&n)) {

43. build(0 , n - 1 , 1);

44. int sum = 0;

45. for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

46. scanf("%d",&x[i]);

47. sum += query(x[i] , n - 1 , 0 , n - 1 , 1);

48. update(x[i] , 0 , n - 1 , 1);

49. }

50. int ret = sum;

51. for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

52. sum += n - x[i] - x[i] - 1;

53. ret = min(ret , sum);

54. }

55. printf("%d\n",ret);

56. }

57. return 0;

58. }

hdu2795Billboard
题意:h*w的木板,放进一些1*L的物品,求每次放空间能容纳且最上边的位子
思路:每次找到最大值的位子,然后减去L
线段树功能:query:区间求最大值的位子(直接把update的操作在query里做了)

1. #include <cstdio>

2. #include <algorithm>

3. using namespace std;

5. #define lson l , m , rt << 1

6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

7. const int maxn = 222222;

8. int h , w , n;

9. int MAX[maxn<<2];

10. void PushUP(int rt) {

11. MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);

12. }

13. void build(int l,int r,int rt) {

14. MAX[rt] = w;

15. if (l == r) return ;

16. int m = (l + r) >> 1;

17. build(lson);

18. build(rson);

19. }

20. int query(int x,int l,int r,int rt) {

21. if (l == r) {

22. MAX[rt] -= x;

23. return l;

24. }

25. int m = (l + r) >> 1;

26. int ret = (MAX[rt<<1] >= x) ? query(x , lson) : query(x , rson);

27. PushUP(rt);

28. return ret;

29. }

30. int main() {

31. while (~scanf("%d%d%d",&h,&w,&n)) {

32. if (h > n) h = n;

33. build(1 , h , 1);

34. while (n --) {

35. int x;

36. scanf("%d",&x);

37. if (MAX[1] < x) puts("-1");

38. else printf("%d\n",query(x , 1 , h , 1));

39. }

40. }

41. return 0;

42. }

成段更新(通常这对初学者来说是一道坎),需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新or询问到的时候

hdu1698 Just aHook
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段替换 (由于只query一次总区间,所以可以直接输出1结点的信息)

1. #include <cstdio>

2. #include <algorithm>

3. using namespace std;

5. #define lson l , m , rt << 1

6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

7. const int maxn = 111111;

8. int h , w , n;

9. int col[maxn<<2];

10. int sum[maxn<<2];

11. void PushUp(int rt) {

12. sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

13. }

14. void PushDown(int rt,int m) {

15. if (col[rt]) {

16. col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];

17. sum[rt<<1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];

18. sum[rt<<1|1] = (m >> 1) * col[rt];

19. col[rt] = 0;

20. }

21. }

22. void build(int l,int r,int rt) {

23. col[rt] = 0;

24. sum[rt] = 1;

25. if (l == r) return ;

26. int m = (l + r) >> 1;

27. build(lson);

28. build(rson);

29. PushUp(rt);

30. }

31. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

32. if (L <= l && r <= R) {

33. col[rt] = c;

34. sum[rt] = c * (r - l + 1);

35. return ;

36. }

37. PushDown(rt , r - l + 1);

38. int m = (l + r) >> 1;

39. if (L <= m) update(L , R , c , lson);

40. if (R > m) update(L , R , c , rson);

41. PushUp(rt);

42. }

43. int main() {

44. int T , n , m;

45. scanf("%d",&T);

46. for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {

47. scanf("%d%d",&n,&m);

48. build(1 , n , 1);

49. while (m --) {

50. int a , b , c;

51. scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

52. update(a , b , c , 1 , n , 1);

53. }

54. printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",cas , sum[1]);

55. }

56. return 0;

57. }

poj3468 A SimpleProblem with Integers
题意:O(-1)
思路:O(-1)
线段树功能:update:成段增减 query:区间求和

1. #include <cstdio>

2. #include <algorithm>

3. using namespace std;

5. #define lson l , m , rt << 1

6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

7. #define LL long long

8. const int maxn = 111111;

9. LL add[maxn<<2];

10. LL sum[maxn<<2];

11. void PushUp(int rt) {

12. sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

13. }

14. void PushDown(int rt,int m) {

15. if (add[rt]) {

16. add[rt<<1] += add[rt];

17. add[rt<<1|1] += add[rt];

18. sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m >> 1));

19. sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m >> 1);

20. add[rt] = 0;

21. }

22. }

23. void build(int l,int r,int rt) {

24. add[rt] = 0;

25. if (l == r) {

26. scanf("%lld",&sum[rt]);

27. return ;

28. }

29. int m = (l + r) >> 1;

30. build(lson);

31. build(rson);

32. PushUp(rt);

33. }

34. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

35. if (L <= l && r <= R) {

36. add[rt] += c;

37. sum[rt] += (LL)c * (r - l + 1);

38. return ;

39. }

40. PushDown(rt , r - l + 1);

41. int m = (l + r) >> 1;

42. if (L <= m) update(L , R , c , lson);

43. if (m < R) update(L , R , c , rson);

44. PushUp(rt);

45. }

46. LL query(int L,int R,int l,int r,int rt) {

47. if (L <= l && r <= R) {

48. return sum[rt];

49. }

50. PushDown(rt , r - l + 1);

51. int m = (l + r) >> 1;

52. LL ret = 0;

53. if (L <= m) ret += query(L , R , lson);

54. if (m < R) ret += query(L , R , rson);

55. return ret;

56. }

57. int main() {

58. int N , Q;

59. scanf("%d%d",&N,&Q);

60. build(1 , N , 1);

61. while (Q --) {

62. char op[2];

63. int a , b , c;

64. scanf("%s",op);

65. if (op[0] == 'Q') {

66. scanf("%d%d",&a,&b);

67. printf("%lld\n",query(a , b , 1 , N , 1));

68. } else {

69. scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

70. update(a , b , c , 1 , N , 1);

71. }

72. }

73. return 0;

74. }

poj2528 Mayor’s posters
题意:在墙上贴海报,海报可以互相覆盖,问最后可以看见几张海报
思路:这题数据范围很大,直接搞超时+超内存,需要离散化:
离散化简单的来说就是只取我们需要的值来用,比如说区间[1000,2000],[1990,2012] 我们用不到[-∞,999][1001,1989][1991,1999][2001,2011][2013,+∞]这些值,所以我只需要1000,1990,2000,2012就够了,将其分别映射到0,1,2,3,在于复杂度就大大的降下来了
所以离散化要保存所有需要用到的值,排序后,分别映射到1~n,这样复杂度就会小很多很多
而这题的难点在于每个数字其实表示的是一个单位长度(并非一个点),这样普通的离散化会造成许多错误(包括我以前的代码,poj这题数据奇弱)
给出下面两个简单的例子应该能体现普通离散化的缺陷:
例子一:1-10 1-4 5-10
例子二:1-10 1-4 6-10
普通离散化后都变成了[1,4][1,2][3,4]
线段2覆盖了[1,2],线段3覆盖了[3,4],那么线段1是否被完全覆盖掉了呢?
例子一是完全被覆盖掉了,而例子二没有被覆盖

为了解决这种缺陷,我们可以在排序后的数组上加些处理,比如说[1,2,6,10]
如果相邻数字间距大于1的话,在其中加上任意一个数字,比如加成[1,2,3,6,7,10],然后再做线段树就好了.
线段树功能:update:成段替换 query:简单hash

1. #include <cstdio>

2. #include <cstring>

3. #include <algorithm>

4. using namespace std;

5. #define lson l , m , rt << 1

6. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

8. const int maxn = 11111;

9. bool hash[maxn];

10. int li[maxn] , ri[maxn];

11. int X[maxn*3];

12. int col[maxn<<4];

13. int cnt;

14.

15. void PushDown(int rt) {

16. if (col[rt] != -1) {

17. col[rt<<1] = col[rt<<1|1] = col[rt];

18. col[rt] = -1;

19. }

20. }

21. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

22. if (L <= l && r <= R) {

23. col[rt] = c;

24. return ;

25. }

26. PushDown(rt);

27. int m = (l + r) >> 1;

28. if (L <= m) update(L , R , c , lson);

29. if (m < R) update(L , R , c , rson);

30. }

31. void query(int l,int r,int rt) {

32. if (col[rt] != -1) {

33. if (!hash[col[rt]]) cnt ++;

34. hash[ col[rt] ] = true;

35. return ;

36. }

37. if (l == r) return ;

38. int m = (l + r) >> 1;

39. query(lson);

40. query(rson);

41. }

42. int Bin(int key,int n,int X[]) {

43. int l = 0 , r = n - 1;

44. while (l <= r) {

45. int m = (l + r) >> 1;

46. if (X[m] == key) return m;

47. if (X[m] < key) l = m + 1;

48. else r = m - 1;

49. }

50. return -1;

51. }

52. int main() {

53. int T , n;

54. scanf("%d",&T);

55. while (T --) {

56. scanf("%d",&n);

57. int nn = 0;

58. for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

59. scanf("%d%d",&li[i] , &ri[i]);

60. X[nn++] = li[i];

61. X[nn++] = ri[i];

62. }

63. sort(X , X + nn);

64. int m = 1;

65. for (int i = 1 ; i < nn; i ++) {

66. if (X[i] != X[i-1]) X[m ++] = X[i];

67. }

68. for (int i = m - 1 ; i > 0 ; i --) {

69. if (X[i] != X[i-1] + 1) X[m ++] = X[i-1] + 1;

70. }

71. sort(X , X + m);

72. memset(col , -1 , sizeof(col));

73. for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

74. int l = Bin(li[i] , m , X);

75. int r = Bin(ri[i] , m , X);

76. update(l , r , i , 0 , m , 1);

77. }

78. cnt = 0;

79. memset(hash , false , sizeof(hash));

80. query(0 , m , 1);

81. printf("%d\n",cnt);

82. }

83. return 0;

84. }

poj3225 Help with Intervals
题意:区间操作,交,并,补等
思路:
我们一个一个操作来分析:(用0和1表示是否包含区间,-1表示该区间内既有包含又有不包含)
U:把区间[l,r]覆盖成1
I:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0
D:把区间[l,r]覆盖成0
C:把[-∞,l)(r,∞]覆盖成0 , 且[l,r]区间0/1互换
S:[l,r]区间0/1互换

成段覆盖的操作很简单,比较特殊的就是区间0/1互换这个操作,我们可以称之为异或操作
很明显我们可以知道这个性质:当一个区间被覆盖后,不管之前有没有异或标记都没有意义了
所以当一个节点得到覆盖标记时把异或标记清空
而当一个节点得到异或标记的时候,先判断覆盖标记,如果是0或1,直接改变一下覆盖标记,不然的话改变异或标记

开区间闭区间只要数字乘以2就可以处理(偶数表示端点,奇数表示两端点间的区间)
线段树功能:update:成段替换,区间异或query:简单hash

1. #include <cstdio>

2. #include <cstring>

3. #include <cctype>

4. #include <algorithm>

5. using namespace std;

6. #define lson l , m , rt << 1

7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

9. const int maxn = 131072;

10. bool hash[maxn+1];

11. int cover[maxn<<2];

12. int XOR[maxn<<2];

13. void FXOR(int rt) {

14. if (cover[rt] != -1) cover[rt] ^= 1;

15. else XOR[rt] ^= 1;

16. }

17. void PushDown(int rt) {

18. if (cover[rt] != -1) {

19. cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];

20. XOR[rt<<1] = XOR[rt<<1|1] = 0;

21. cover[rt] = -1;

22. }

23. if (XOR[rt]) {

24. FXOR(rt<<1);

25. FXOR(rt<<1|1);

26. XOR[rt] = 0;

27. }

28. }

29. void update(char op,int L,int R,int l,int r,int rt) {

30. if (L <= l && r <= R) {

31. if (op == 'U') {

32. cover[rt] = 1;

33. XOR[rt] = 0;

34. } else if (op == 'D') {

35. cover[rt] = 0;

36. XOR[rt] = 0;

37. } else if (op == 'C' || op == 'S') {

38. FXOR(rt);

39. }

40. return ;

41. }

42. PushDown(rt);

43. int m = (l + r) >> 1;

44. if (L <= m) update(op , L , R , lson);

45. else if (op == 'I' || op == 'C') {

46. XOR[rt<<1] = cover[rt<<1] = 0;

47. }

48. if (m < R) update(op , L , R , rson);

49. else if (op == 'I' || op == 'C') {

50. XOR[rt<<1|1] = cover[rt<<1|1] = 0;

51. }

52. }

53. void query(int l,int r,int rt) {

54. if (cover[rt] == 1) {

55. for (int it = l ; it <= r ; it ++) {

56. hash[it] = true;

57. }

58. return ;

59. } else if (cover[rt] == 0) return ;

60. if (l == r) return ;

61. PushDown(rt);

62. int m = (l + r) >> 1;

63. query(lson);

64. query(rson);

65. }

66. int main() {

67. cover[1] = XOR[1] = 0;

68. char op , l , r;

69. int a , b;

70. while ( ~scanf("%c %c%d,%d%c\n",&op , &l , &a , &b , &r) ) {

71. a <<= 1 , b <<= 1;

72. if (l == '(') a ++;

73. if (r == ')') b --;

74. if (a > b) {

75. if (op == 'C' || op == 'I') {

76. cover[1] = XOR[1] = 0;

77. }

78. } else update(op , a , b , 0 , maxn , 1);

79. }

80. query(0 , maxn , 1);

81. bool flag = false;

82. int s = -1 , e;

83. for (int i = 0 ; i <= maxn ; i ++) {

84. if (hash[i]) {

85. if (s == -1) s = i;

86. e = i;

87. } else {

88. if (s != -1) {

89. if (flag) printf(" ");

90. flag = true;

91. printf("%c%d,%d%c",s&1?'(':'[' , s>>1 , (e+1)>>1 , e&1?')':']');

92. s = -1;

93. }

94. }

95. }

96. if (!flag) printf("empty set");

97. puts("");

98. return 0;

99. }

练习
poj1436 Horizontally Visible Segments
poj2991 Crane
Another LCIS
Bracket Sequence

区间合并

这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以PushUp的时候需要对左右儿子的区间进行合并

poj3667 Hotel
题意:1 a:询问是不是有连续长度为a的空房间,有的话住进最左边
2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空
思路:记录区间中最长的空房间
线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点

1. #include <cstdio>

2. #include <cstring>

3. #include <cctype>

4. #include <algorithm>

5. using namespace std;

6. #define lson l , m , rt << 1

7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

9. const int maxn = 55555;

10. int lsum[maxn<<2] , rsum[maxn<<2] , msum[maxn<<2];

11. int cover[maxn<<2];

12.

13. void PushDown(int rt,int m) {

14. if (cover[rt] != -1) {

15. cover[rt<<1] = cover[rt<<1|1] = cover[rt];

16. msum[rt<<1] = lsum[rt<<1] = rsum[rt<<1] = cover[rt] ? 0 : m - (m >> 1);

17. msum[rt<<1|1] = lsum[rt<<1|1] = rsum[rt<<1|1] = cover[rt] ? 0 : (m >> 1);

18. cover[rt] = -1;

19. }

20. }

21. void PushUp(int rt,int m) {

22. lsum[rt] = lsum[rt<<1];

23. rsum[rt] = rsum[rt<<1|1];

24. if (lsum[rt] == m - (m >> 1)) lsum[rt] += lsum[rt<<1|1];

25. if (rsum[rt] == (m >> 1)) rsum[rt] += rsum[rt<<1];

26. msum[rt] = max(lsum[rt<<1|1] + rsum[rt<<1] , max(msum[rt<<1] , msum[rt<<1|1]));

27. }

28. void build(int l,int r,int rt) {

29. msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = r - l + 1;

30. cover[rt] = -1;

31. if (l == r) return ;

32. int m = (l + r) >> 1;

33. build(lson);

34. build(rson);

35. }

36. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

37. if (L <= l && r <= R) {

38. msum[rt] = lsum[rt] = rsum[rt] = c ? 0 : r - l + 1;

39. cover[rt] = c;

40. return ;

41. }

42. PushDown(rt , r - l + 1);

43. int m = (l + r) >> 1;

44. if (L <= m) update(L , R , c , lson);

45. if (m < R) update(L , R , c , rson);

46. PushUp(rt , r - l + 1);

47. }

48. int query(int w,int l,int r,int rt) {

49. if (l == r) return l;

50. PushDown(rt , r - l + 1);

51. int m = (l + r) >> 1;

52. if (msum[rt<<1] >= w) return query(w , lson);

53. else if (rsum[rt<<1] + lsum[rt<<1|1] >= w) return m - rsum[rt<<1] + 1;

54. return query(w , rson);

55. }

56. int main() {

57. int n , m;

58. scanf("%d%d",&n,&m);

59. build(1 , n , 1);

60. while (m --) {

61. int op , a , b;

62. scanf("%d",&op);

63. if (op == 1) {

64. scanf("%d",&a);

65. if (msum[1] < a) puts("0");

66. else {

67. int p = query(a , 1 , n , 1);

68. printf("%d\n",p);

69. update(p , p + a - 1 , 1 , 1 , n , 1);

70. }

71. } else {

72. scanf("%d%d",&a,&b);

73. update(a , a + b - 1 , 0 , 1 , n , 1);

74. }

75. }

76. return 0;

77. }

练习
hdu3308 LCIS
hdu3397 Sequence operation
hdu2871 Memory Control
hdu1540 Tunnel Warfare
CF46-D Parking Lot

扫描线

这类题目需要将一些操作排序,然后从左到右用一根扫描线(当然是在我们脑子里)扫过去
最典型的就是矩形面积并,周长并等题

hdu1542 Atlantis
题意:矩形面积并
思路:浮点数先要离散化;然后把矩形分成两条边,上边和下边,对横轴建树,然后从下到上扫描上去,用cnt表示该区间下边比上边多几个,sum代表该区间内被覆盖的线段的长度总和
这里线段树的一个结点并非是线段的一个端点,而是该端点和下一个端点间的线段,所以题目中r+1,r-1的地方可以自己好好的琢磨一下

线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值

1. #include <cstdio>

2. #include <cstring>

3. #include <cctype>

4. #include <algorithm>

5. using namespace std;

6. #define lson l , m , rt << 1

7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

9. const int maxn = 2222;

10. int cnt[maxn << 2];

11. double sum[maxn << 2];

12. double X[maxn];

13. struct Seg {

14. double h , l , r;

15. int s;

16. Seg(){}

17. Seg(double a,double b,double c,int d) : l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}

18. bool operator < (const Seg &cmp) const {

19. return h < cmp.h;

20. }

21. }ss[maxn];

22. void PushUp(int rt,int l,int r) {

23. if (cnt[rt]) sum[rt] = X[r+1] - X[l];

24. else if (l == r) sum[rt] = 0;

25. else sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];

26. }

27. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

28. if (L <= l && r <= R) {

29. cnt[rt] += c;

30. PushUp(rt , l , r);

31. return ;

32. }

33. int m = (l + r) >> 1;

34. if (L <= m) update(L , R , c , lson);

35. if (m < R) update(L , R , c , rson);

36. PushUp(rt , l , r);

37. }

38. int Bin(double key,int n,double X[]) {

39. int l = 0 , r = n - 1;

40. while (l <= r) {

41. int m = (l + r) >> 1;

42. if (X[m] == key) return m;

43. if (X[m] < key) l = m + 1;

44. else r = m - 1;

45. }

46. return -1;

47. }

48. int main() {

49. int n , cas = 1;

50. while (~scanf("%d",&n) && n) {

51. int m = 0;

52. while (n --) {

53. double a , b , c , d;

54. scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);

55. X[m] = a;

56. ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);

57. X[m] = c;

58. ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);

59. }

60. sort(X , X + m);

61. sort(ss , ss + m);

62. int k = 1;

63. for (int i = 1 ; i < m ; i ++) {

64. if (X[i] != X[i-1]) X[k++] = X[i];

65. }

66. memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));

67. memset(sum , 0 , sizeof(sum));

68. double ret = 0;

69. for (int i = 0 ; i < m - 1 ; i ++) {

70. int l = Bin(ss[i].l , k , X);

71. int r = Bin(ss[i].r , k , X) - 1;

72. if (l <= r) update(l , r , ss[i].s , 0 , k - 1, 1);

73. ret += sum[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);

74. }

75. printf("Test case #%d\nTotal explored area: %.2lf\n\n",cas++ , ret);

76. }

77. return 0;

78. }

hdu1828 Picture
题意:矩形周长并
思路:与面积不同的地方是还要记录竖的边有几个(numseg记录),并且当边界重合的时候需要合并(用lbd和rbd表示边界来辅助)
线段树操作:update:区间增减 query:直接取根节点的值

1. #include <cstdio>

2. #include <cstring>

3. #include <cctype>

4. #include <algorithm>

5. using namespace std;

6. #define lson l , m , rt << 1

7. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

9. const int maxn = 22222;

10. struct Seg{

11. int l , r , h , s;

12. Seg() {}

13. Seg(int a,int b,int c,int d):l(a) , r(b) , h(c) , s(d) {}

14. bool operator < (const Seg &cmp) const {

15. if (h == cmp.h) return s > cmp.s;

16. return h < cmp.h;

17. }

18. }ss[maxn];

19. bool lbd[maxn<<2] , rbd[maxn<<2];

20. int numseg[maxn<<2];

21. int cnt[maxn<<2];

22. int len[maxn<<2];

23. void PushUP(int rt,int l,int r) {

24. if (cnt[rt]) {

25. lbd[rt] = rbd[rt] = 1;

26. len[rt] = r - l + 1;

27. numseg[rt] = 2;

28. } else if (l == r) {

29. len[rt] = numseg[rt] = lbd[rt] = rbd[rt] = 0;

30. } else {

31. lbd[rt] = lbd[rt<<1];

32. rbd[rt] = rbd[rt<<1|1];

33. len[rt] = len[rt<<1] + len[rt<<1|1];

34. numseg[rt] = numseg[rt<<1] + numseg[rt<<1|1];

35. if (lbd[rt<<1|1] && rbd[rt<<1]) numseg[rt] -= 2;//两条线重合

36. }

37. }

38. void update(int L,int R,int c,int l,int r,int rt) {

39. if (L <= l && r <= R) {

40. cnt[rt] += c;

41. PushUP(rt , l , r);

42. return ;

43. }

44. int m = (l + r) >> 1;

45. if (L <= m) update(L , R , c , lson);

46. if (m < R) update(L , R , c , rson);

47. PushUP(rt , l , r);

48. }

49. int main() {

50. int n;

51. while (~scanf("%d",&n)) {

52. int m = 0;

53. int lbd = 10000, rbd = -10000;

54. for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {

55. int a , b , c , d;

56. scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);

57. lbd = min(lbd , a);

58. rbd = max(rbd , c);

59. ss[m++] = Seg(a , c , b , 1);

60. ss[m++] = Seg(a , c , d , -1);

61. }

62. sort(ss , ss + m);

63. int ret = 0 , last = 0;

64. for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {

65. if (ss[i].l < ss[i].r) update(ss[i].l , ss[i].r - 1 , ss[i].s , lbd , rbd - 1 , 1);

66. ret += numseg[1] * (ss[i+1].h - ss[i].h);

67. ret += abs(len[1] - last);

68. last = len[1];

69. }

70. printf("%d\n",ret);

71. }

72. return 0;

73. }

练习
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poj2482 Stars in Your Window
poj2464Brownie Points II
hdu3255 Farming
ural1707Hypnotoad’s Secret
uva11983Weird Advertisement

多颗线段树问题

此类题目主用特点是区间不连续，有一定规律间隔，用多棵树表示不同的偏移区间

hdu 4288 coder

题意：
维护一个有序数列{An}，有三种操作：
1、添加一个元素。
2、删除一个元素。
3、求数列中下标%5 = 3的值的和。

由于有删除和添加操作，所以离线离散操作，节点中cnt存储区间中有几个数，sum存储偏移和

1. #include<iostream>

2. #include<cstdio>

3. #include<cstring>

4. #include<algorithm>

5. using namespace std;

6. const int maxn=100002;

8. #define lson l , m , rt << 1

9. #define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1

10.

11. __int64 sum[maxn<<2][6];

12. int cnt[maxn << 2];

13.

14. char op[maxn][20];

15. int a[maxn];

16.

17. int X[maxn];

18.

19. void PushUp(int rt)

20. {

21. cnt[rt] = cnt[rt<<1] + cnt[rt<<1|1];

22.

23. int offset = cnt[rt<<1];

24. for(int i = 0; i < 5; ++i)

25. {

26. sum[rt][i] = sum[rt<<1][i];

27. }

28. for(int i = 0; i < 5; ++i)

29. {

30. sum[rt][(i + offset) % 5] += sum[rt<<1|1][i];

31. }

32. }

33.

34. void Build(int l, int r, int rt)

35. { /*此题Build完全可以用一个memset代替*/

36. cnt[rt] = 0;

37. for(int i = 0; i < 5; ++i) sum[rt][i] = 0;

38. if( l == r ) return;

39. int m = ( l + r )>>1;

40. Build(lson);

41. Build(rson);

42. }

43.

44. void Updata(int p, int op, int l, int r, int rt)

45. {

46. if( l == r )

47. {

48. cnt[rt] = op;

49. sum[rt][1] = op * X[l-1];

50. return ;

51. }

52. int m = ( l + r ) >> 1;

53. if(p <= m)

54. Updata(p, op, lson);

55. else

56. Updata(p, op, rson);

57.

58. PushUp(rt);

59. }

60.

61. int main()

62. {

63. int n;

64. while(scanf("%d", &n) != EOF)

65. {

66. int nn = 0;

67. for(int i = 0; i < n; ++i)

68. {

69. scanf("%s", &op[i]);

70.

71. if(op[i][0] != 's')

72. {

73. scanf("%d", &a[i]);

74. if(op[i][0] == 'a')

75. {

76. X[nn++] = a[i];

77. }

78. }

79. }

80.

81. sort(X,X+nn);/*unique前必须sort*/

82. nn = unique(X, X + nn) - X; /*去重并得到总数*/

83.

84. Build(1, nn, 1);

85.

86. for(int i = 0; i < n; ++i)

87. {

88. int pos = upper_bound(X, X+nn, a[i]) - X; /* hash */

89. if(op[i][0] == 'a')

90. {

91. Updata(pos, 1, 1, nn, 1);

92. }

93. else if(op[i][0] == 'd')

94. {

95. Updata(pos, 0, 1, nn, 1);

96. }

97. else printf("%I64d\n",sum[1][3]);

98. }

99. }

100. return 0;

101. }

2：hdu 4267 A simple problem withintegers

题目：给出n个数，每次将一段区间内满足(i-l)%k==0 （r>=i>=l）的数ai增加c, 最后单点查询。

这种题目更新的区间是零散的，如果可以通过某种方式让离散的都变得连续，那么问题就可以用线段树完美解决。解决方式一般也是固定的，那就是利用题意维护多颗线段树。此题虚维护55颗，更新最终确定在一颗上，查询则将查询点被包含的树全部叠加。

1. #include<iostream>

2. #include<cstdio>

3. #include<cstring>

4. #include<cmath>

5. #include<algorithm>

6. #include<set>

7. #include<vector>

8. #include<string>

9. #include<map>

10. #define eps 1e-7

11. #define LL long long

12. #define N 500005

13. #define zero(a) fabs(a)<eps

14. #define lson step<<1

15. #define rson step<<1|1

16. #define MOD 1234567891

17. #define pb(a) push_back(a)

18. using namespace std;

19. struct Node{

20. int left,right,add[55],sum;

21. int mid(){return (left+right)/2;}

22. }L[4*N];

23. int a[N],n,b[11][11];

24. void Bulid(int step ,int l,int r){

25. L[step].left=l;

26. L[step].right=r;

27. L[step].sum=0;

28. memset(L[step].add,0,sizeof(L[step].add));

29. if(l==r) return ;

30. Bulid(lson,l,L[step].mid());

31. Bulid(rson,L[step].mid()+1,r);

32. }

33. void push_down(int step){

34. if(L[step].sum){

35. L[lson].sum+=L[step].sum;

36. L[rson].sum+=L[step].sum;

37. L[step].sum=0;

38. for(int i=0;i<55;i++){

39. L[lson].add[i]+=L[step].add[i];

40. L[rson].add[i]+=L[step].add[i];

41. L[step].add[i]=0;

42. }

43. }

44. }

45. void update(int step,int l,int r,int num,int i,int j){

46. if(L[step].left==l&&L[step].right==r){

47. L[step].sum+=num;

48. L[step].add[b[i][j]]+=num;

49. return;

50. }

51. push_down(step);

52. if(r<=L[step].mid()) update(lson,l,r,num,i,j);

53. else if(l>L[step].mid()) update(rson,l,r,num,i,j);

54. else {

55. update(lson,l,L[step].mid(),num,i,j);

56. update(rson,L[step].mid()+1,r,num,i,j);

57. }

58. }

59. int query(int step,int pos){

60. if(L[step].left==L[step].right){

61. int tmp=0;

62. for(int i=1;i<=10;i++) tmp+=L[step].add[b[i][pos%i]];

63. return a[L[step].left]+tmp;

64. }

65. push_down(step);

66. if(pos<=L[step].mid()) return query(lson,pos);

67. else return query(rson,pos);

68. }

69. int main(){

70. int cnt=0;

71. for(int i=1;i<=10;i++) for(int j=0;j<i;j++) b[i][j]=cnt++;

72. while(scanf("%d",&n)!=EOF){

73. for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);

74. Bulid(1,1,n);

75. int q,d;

76. scanf("%d",&q);

77. while(q--){

78. int k,l,r,m;

79. scanf("%d",&k);

80. if(k==2){

81. scanf("%d",&m);

82. printf("%d\n",query(1,m));

83. }

84. else{

85. scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&d,&m);

86. update(1,l,r,m,d,l%d);

87. }

88. }

89. }

90. return 0;

91. }

92.

线段树

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