数论初步

一、辗转相除法

（又称欧几里德算法）：gcd(a, b) = gcd(b, a % b);

int gcd(int a, int b)
{
	return b == 0 ? a : a % b;
}

另外：最小公倍数 * 最大公约数 == 两数之积

二、筛选法构造素数表

int visit[nMax];
int prime[nMax];
int getPrime(int n)//得到[1,n]中所有素数
{
	int c;
	memset(visit, 0, sizeof(visit));
	int m = sqrt(n + 0.5);
	for(int i = 2; i <= m; ++ i)
	{
		if(!visit[i])
		{
			prime[c ++] = i;
			for(int j = i * i; j <= n; j += i)
				visit[j] = 1;
		}
	}
	for(int i = m + 1; i <= n; ++ i)
		if(!visit[i])
			prime[c ++] = i;
}

三、大整数取模

#include <cstdio>
#include <cstring>
int main()
{
	const int nMax = 100;
	char s[nMax];
	int m;
	scanf("%s %d", s, &m);
	int len = strlen(s);
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i < len; ++ i)
		ans = (ans * 10 + s[i] - '0') % m;//如果前面超界，使用long long类型。
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

四、欧拉函数值（小于n且与n互素的个数）

int euler_phi(int n)
{
	int m = sqrt(n + 0.5);
	int ans = n;
	for(int i = 2; i <= m; ++ i)
		if(n % i == 0)
		{
			ans = ans / i * (i - 1);
			while(n % i == 0) n /= i;
		}
	if(n > 1) ans = ans / n * (n -1);//只能有一个因子 > m
}

五、Fib数列（矩阵实现）

//其中a[0]的值为fid(n+1)
int bsearch(int n)
{
	if(1 == n)
	{
		a[0] = a[1] = a[2] = 1;
		a[3] = 0;
		return ;
	}
	bsearch(n / 2);
	b[0] = a[0] * a[0] + a[1] * a[2];
	b[1] = a[0] * a[1] + a[1] * a[3];
	b[2] = a[2] * a[0] + a[3] * a[2];
	b[3] = a[2] * a[1] + a[3] * a[3];
	a[0] = b[0] % M;
	a[1] = b[1] % M;
	a[2] = b[2] % M;
	a[3] = b[3] % M;
	if(n & 1)//当n为奇数时
	{
		b[0] = a[0] + a[2];
		b[1] = a[1] + a[3];
		b[2] = a[0];
		b[3] = a[1];
		a[0] = b[0] % M;
		a[1] = b[1] % M;
		a[2] = b[2] % M;
		a[3] = b[3] % M;
	}
	return a[0];
}

六、卡特兰数(Catalan)

h(n) = h(1) * h(n - 1) + h(2) * h (n -2 ) + ... + h(n - 2) * h(2) + h(n - 1) * h(1)；（其中h(1) = h(2) = 1）

结论：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);