poj 1837 背包（让天平平衡的方法）

题意：有一个天平，天平左右两边各有若干个钩子，总共有C个钩子，有G个钩码，求将钩码全部挂到钩子上使天平平衡的方法的总数。

思路：（http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648094/写的非常详细）首先定义一个平衡度j的概念
当平衡度j=0时，说明天枰达到平衡，j>0，说明天枰倾向右边（x轴右半轴），j<0则相反
那么此时可以把平衡度j看做为衡量当前天枰状态的一个值
因此可以定义一个 状态数组dp[i][j]，意为在挂满前i个钩码时，平衡度为j的挂法的数量。
由于距离c[i]的范围是-15~15，钩码重量的范围是1~25，钩码数量最大是20
因此最极端的平衡度是所有物体都挂在最远端，因此平衡度最大值为j=15*20*25=7500。原则上就应该有dp[ 1~20 ][-7500 ~ 7500 ]。
因此为了不让下标出现负数，做一个处理，使使得数组开为 dp[1~20][0~15000]，则当j=7500时天枰为平衡状态

那么每次挂上一个钩码后，对平衡状态的影响因素就是每个钩码的 力臂
力臂=重量 *臂长 = w[i]*c[k]
那么若在挂上第i个砝码之前，天枰的平衡度为j
(换言之把前i-1个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度为j)
则挂上第i个钩码后，即把前i个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度 j=j+ w[i]*c[k]
其中c[k]为天枰上钩子的位置，代表第i个钩码挂在不同位置会产生不同的平衡度

不难想到，假设 dp[i-1][j] 的值已知，设dp[i-1][j]=num
（即已知把前i-1个钩码全部挂上天枰后得到状态j的方法有num次）
那么dp[i][ j+ w[i]*c[k] ] = dp[i-1][j] = num
(即以此为前提，在第k个钩子挂上第i个钩码后，得到状态j+ w[i]*c[k]的方法也为num次)

想到这里，利用递归思想，不难得出 状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）
有些前辈推导方式稍微有点不同，得到的 状态方程为dp[i][j] =∑(dp[i - 1][j - c[i] * w[i]])

可以加个优化，算出未来可能达到的最大平衡度，则此次遍历平衡度不用从两个端点开始了，只需从7500+-剩下的最大平衡度即可。

直接背包：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 22
int dp[N][15005],w[N],c[N];
int h,n;
int test(int x){
    return x>=0&&x<=15000;
}
int main(){
    int i,j,k;
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    scanf("%d %d",&h,&n);
    for(i = 1;i<=h;i++)
        scanf("%d",&c[i]);
    for(i = 1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
    dp[0][7500] = 1;
    for(i = 1;i<=n;i++)
        for(j = 0;j<=15000;j++)
            for(k = 1;k<=h;k++)
                if(test(j-w[i]*c[k]))
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-w[i]*c[k]];
    printf("%d\n",dp[n][7500]);
    return 0;
}

加优化（可以刷到0ms）：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 22
int dp[N][15005],w[N],c[N],sum[N];
int h,n;
int test(int x){
    return x>=0&&x<=15000;
}
int cmp(int a,int b){
    return a>b;
}
int main(){
    int i,j,k,a,b;
    scanf("%d %d",&h,&n);
    for(i = 1;i<=h;i++)
        scanf("%d",&c[i]);
    for(i = 1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);
    sort(w+1,w+n+1,cmp);
    sum[n] = w[n];
    for(i = n-1;i>=2;i--)
        sum[i] = sum[i+1]+w[i];
    dp[0][7500] = 1;
    for(i = 1;i<n;i++){
        a = 7500-sum[i+1]*15;
        b = 7500+sum[i+1]*15;
        for(j = a;j<=b;j++)
            for(k = 1;k<=h;k++)
                if(test(j-w[i]*c[k]))
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-w[i]*c[k]];
    }
    for(k = 1;k<=h;k++)
        if(test(7500-w[n]*c[k]))
            dp[n][7500] += dp[n-1][7500-w[n]*c[k]];
    printf("%d\n",dp[n][7500]);
    return 0;
}