算法导论-14.3-6-MIN-GAP

 

算法导论-14.3-6-MIN-GAP

分类： 算法导论 2012-08-26 15:59  448人阅读  评论(7)  收藏  举报

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一、题目

请说明如何维护一个支持操作MIN-GAP的动态数据集Q，使得该操作能够给出Q中两个数之间的最小差幅。例如，Q={1，5，9，15，18，22}，则MIN-GAP(Q)返回18-15=3,因为15和18是其中最近的两个数。使用操作INSERT，DELETE，SEARCH和MIN-GAP尽可能高效，并分析它们的运行时间。

二、思考

步骤1：基础数据结构

红黑树，数组中的数值分别作为每个结点的关键字

步骤2：附加信息

min-gap[x]：记录以x为根结点的树的min-gap。当x为叶子结点时，min-gap[x]=0x7fffffff

min-val[x]：记录以x为根结点的树中最小的关键字

max-val[x]：记录以x为根结点的树中最大的关键字

步骤3：对信息的维护

在插入的删除的同时，对这三个附加信息进行更新操作，时间复杂度不改变

步骤4：设计新的操作

Min_Gap()：返回根结点的min-gap值

 

三、代码

 #include <iostream>
 using namespace std;

 #define BLACK 0
 #define RED 1

 //MIN-GAP树结点结构
 struct node
 {
     node *left;//左孩子
     node *right;//右孩子
     node *p;//父
     int key;//关键字
     bool color;//颜色，红或黑
     int min_gap;//记录以x为根结点的树的min-gap。当x为叶子结点时，min-gap[x]=0x7fffffff
     int min_val;//记录以x为根结点的树中最小的关键字
     int max_val;//记录以x为根结点的树中最大的关键字
     node(node *init, int k)
         :left(init),right(init),p(init),key(k),color(BLACK),min_gap(0x7fffffff),min_val(k),max_val(k){}
 };
 //区间树结构
 struct Min_Gap_Tree
 {
     node *root;//根结点
     node *nil;//哨兵
     Min_Gap_Tree(){nil = new node(NULL, -1);root = nil;};
 };
 int Min(int a, int b, int c, int d)
 {
     a = a < b ? a : b;
     c = c < d ? c : d;
     return a < c ? a : c;
 }
 //对信息的维护
 void Maintaining(Min_Gap_Tree *T, node *x)
 {
     while(x != T->nil)
     {
         //对min_val信息的维护
         x->min_val = (x->left != T->nil) ? x->left->min_val : x->key;
         //对max_val信息的维护
         x->max_val = (x->right != T->nil) ? x->right->max_val : x->key;
         //对min_gap信息的维护
         int a = (x->left != T->nil) ? x->left->min_gap : 0x7fffffff;
         int b = (x->right != T->nil) ? x->right->min_gap : 0x7fffffff;
         int c = (x->left != T->nil) ? (x->key - x->left->max_val) : 0x7fffffff;
         int d = (x->right != T->nil) ? (x->right->min_val - x->key) : 0x7fffffff;
         x->min_gap = Min(a, b, c, d);
         //向上更新
         x = x->p;
     }
 }
 //左旋，令y = x->right, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
 //涉及到的结点包括：x,y,y->left，令node={p,l,r},具体变化如下：
 //x={x->p,x->left,y}变为{y,x->left,y->left}
 //y={x,y->left,y->right}变为{x->p,x,y->right}
 //y->left={y,y->left->left,y->left->right}变为{x,y->left->left,y->left->right}
 void Left_Rotate(Min_Gap_Tree *T, node *x)
 {
     //令y = x->right
     node *y = x->right;
     //按照上面的方式修改三个结点的指针，注意修改指针的顺序
     x->right = y->left;
     if(y->left != T->nil)
         y->left->p = x;
     y->p = x->p;
     if(x->p == T->nil)//特殊情况：x是根结点
         T->root = y;
     else if(x == x->p->left)
         x->p->left = y;
     else
         x->p->right = y;
     y->left = x;
     x->p = y;
     Maintaining(T, x);
 }
 //右旋，令y = x->left, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
 //旋转过程与上文类似
 void Right_Rotate(Min_Gap_Tree *T, node *x)
 {
     node *y = x->left;
     x->left = y->right;
     if(y->right != T->nil)
         y->right->p = x;
     y->p = x->p;
     if(x->p == T->nil)
         T->root = y;
     else if(x == x->p->right)
         x->p->right = y;
     else
         x->p->left = y;
     y->right = x;
     x->p = y;
     Maintaining(T, x);
 }
 //红黑树调整
 void MG_Insert_Fixup(Min_Gap_Tree *T, node *z)
 {
     node *y;
     //唯一需要调整的情况，就是违反性质2的时候，如果不违反性质2，调整结束
     while(z->p->color == RED)
     {
         //p[z]是左孩子时，有三种情况
         if(z->p == z->p->p->left)
         {
             //令y是z的叔结点
             y = z->p->p->right;
             //第一种情况，z的叔叔y是红色的
             if(y->color == RED)
             {
                 //将p[z]和y都着为黑色以解决z和p[z]都是红色的问题
                 z->p->color = BLACK;
                 y->color = BLACK;
                 //将p[p[z]]着为红色以保持性质5
                 z->p->p->color = RED;
                 //把p[p[z]]当作新增的结点z来重复while循环
                 z = z->p->p;
             }
             else
             {
                 //第二种情况：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子
                 if(z == z->p->right)
                 {
                     //对p[z]左旋，转为第三种情况
                     z = z->p;
                     Left_Rotate(T, z);
                 }
                 //第三种情况：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子
                 //交换p[z]和p[p[z]]的颜色，并右旋
                 z->p->color = BLACK;
                 z->p->p->color = RED;
                 Right_Rotate(T, z->p->p);
             }
         }
         //p[z]是右孩子时，有三种情况，与上面类似
         else if(z->p == z->p->p->right)
         {
             y = z->p->p->left;
             if(y->color == RED)
             {
                 z->p->color = BLACK;
                 y->color = BLACK;
                 z->p->p->color = RED;
                 z = z->p->p;
             }
             else
             {
                 if(z == z->p->left)
                 {
                     z = z->p;
                     Right_Rotate(T, z);
                 }
                 z->p->color = BLACK;
                 z->p->p->color = RED;
                 Left_Rotate(T, z->p->p);
             }
         }
     }
     //根结点置为黑色
     T->root->color = BLACK;
 }
 //插入一个结点
 void Min_Gap_Insert(Min_Gap_Tree *T, node *z)
 {
     node *y = T->nil, *x = T->root;
     //找到应该插入的位置，与二叉查找树的插入相同
     while(x != T->nil)
     {
         y = x;
         if(z->key < x->key)
             x = x->left;
         else
             x = x->right;
     }
     z->p = y;
     if(y == T->nil)
         T->root = z;
     else if(z->key < y->key)
         y->left = z;
     else
         y->right = z;
     z->left = T->nil;
     z->right = T->nil;
     //将新插入的结点转为红色
     z->color = RED;
     //从新插入的结点开始，向上调整
     MG_Insert_Fixup(T, z);
     //对信息的维护
     Maintaining(T, z);
 }
 //对树进行调整，x指向一个红黑结点，调整的过程是将额外的黑色沿树上移
 void MG_Delete_Fixup(Min_Gap_Tree *T, node *x)
 {
     node *w;
     //如果这个额外的黑色在一个根结点或一个红结点上，结点会吸收额外的黑色，成为一个黑色的结点
     while(x != T->root && x->color == BLACK)
     {
         //若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
         if(x == x->p->left)
         {
             //令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
             //执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
             w = x->p->right;
             //第一种情况：w是红色的
             if(w->color == RED)
             {
                 //改变w和p[x]的颜色
                 w->color = BLACK;
                 x->p->color = RED;
                 //对p[x]进行一次左旋
                 Left_Rotate(T, x->p);
                 //令w为x的新兄弟
                 w = x->p->right;
                 //转为2.3.4三种情况之一
             }
             //第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
             if(w->left->color == BLACK && w->right->color == BLACK)
             {
                 //去掉w和x的黑色
                 //w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
                 w->color = RED;
                 //在p[x]上补一层黑色
                 x = x->p;
                 //现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
             }
             //第三种情况，w是黑色的,w->left是红色的,w->right是黑色的
             else
             {
                 if(w->right->color == BLACK)
                 {
                     //改变w和left[x]的颜色
                     w->left->color = BLACK;
                     w->color = RED;
                     //对w进行一次右旋
                     Right_Rotate(T, w);
                     //令w为x的新兄弟
                     w = x->p->right;
                     //此时转变为第四种情况
                 }
                 //第四种情况：w是黑色的,w->left是黑色的,w->right是红色的
                 //修改w和p[x]的颜色
                 w->color =x->p->color;
                 x->p->color = BLACK;
                 w->right->color = BLACK;
                 //对p[x]进行一次左旋
                 Left_Rotate(T, x->p);
                 //此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
                 x = T->root;
             }
         }
         //若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
         else if(x == x->p->right)
         {
             //令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
             //执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
             w = x->p->left;
             //第一种情况：w是红色的
             if(w->color == RED)
             {
                 //改变w和p[x]的颜色
                 w->color = BLACK;
                 x->p->color = RED;
                 //对p[x]进行一次左旋
                 Right_Rotate(T, x->p);
                 //令w为x的新兄弟
                 w = x->p->left;
                 //转为2.3.4三种情况之一
             }
             //第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
             if(w->right->color == BLACK && w->left->color == BLACK)
             {
                 //去掉w和x的黑色
                 //w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
                 w->color = RED;
                 //在p[x]上补一层黑色
                 x = x->p;
                 //现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
             }
             //第三种情况，w是黑色的,w->right是红色的,w->left是黑色的
             else
             {
                 if(w->left->color == BLACK)
                 {
                     //改变w和right[x]的颜色
                     w->right->color = BLACK;
                     w->color = RED;
                     //对w进行一次右旋
                     Left_Rotate(T, w);
                     //令w为x的新兄弟
                     w = x->p->left;
                     //此时转变为第四种情况
                 }
                 //第四种情况：w是黑色的,w->right是黑色的,w->left是红色的
                 //修改w和p[x]的颜色
                 w->color =x->p->color;
                 x->p->color = BLACK;
                 w->left->color = BLACK;
                 //对p[x]进行一次左旋
                 Right_Rotate(T, x->p);
                 //此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
                 x = T->root;
             }
         }
     }
     //吸收了额外的黑色
     x->color = BLACK;
 }
 //找最小值
 node *Tree_Minimum(Min_Gap_Tree *T, node *x)
 {
     //只要有比当前结点小的结点
     while(x->left != T->nil)
         x = x->left;
     return x;
 }
 //查找中序遍历下x结点的后继，后继是大于key[x]的最小的结点
 node *Tree_Successor(Min_Gap_Tree *T, node *x)
 {
     //如果有右孩子
     if(x->right != T->nil)
         //右子树中的最小值
         return Tree_Minimum(T, x->right);
     //如果x的右子树为空且x有后继y，那么y是x的最低祖先结点，且y的左儿子也是
     node *y = x->p;
     while(y != NULL && x == y->right)
     {
         x = y;
         y = y->p;
     }
     return y;
 }
 //红黑树的删除
 node *Min_Gap_Delete(Min_Gap_Tree *T, node *z)
 {
     //找到结点的位置并删除，这一部分与二叉查找树的删除相同
     node *x, *y;
     if(z->left == T->nil || z->right == T->nil)
         y = z;
     else y = Tree_Successor(T, z);
     if(y->left != T->nil)
         x = y->left;
     else x = y->right;
     x->p = y->p;
     if(y->p == T->nil)
         T->root = x;
     else if(y == y->p->left)
         y->p->left = x;
     else
         y->p->right = x;
     //对信息的维护
     Maintaining(T, x);
     if(y != z)
     {
         z->key = y->key;
         //对信息的维护
         Maintaining(T, z);
     }
     //如果被删除的结点是黑色的，则需要调整
     if(y->color == BLACK)
         MG_Delete_Fixup(T, x);
     return y;
 }
 //递归地查询二叉查找树
 node *Min_Gap_Search(node *x, int k)
 {
     //找到叶子结点了还没找到，或当前结点是所查找的结点
     if(x->key == -1 || k == x->key)
         return x;
     //所查找的结点位于当前结点的左子树
     if(k < x->key)
         return Min_Gap_Search(x->left, k);
     //所查找的结点位于当前结点的左子树
     else
         return Min_Gap_Search(x->right, k);
 }
 void Print(node *x)
 {
     if(x->key == -1)
         return;
     Print(x->left);
     cout<<x->key<<' '<<x->color<<endl;
     Print(x->right);
 }
 int Min_Gap(node *r)
 {
     return r->min_gap;
 }
 void Print(Min_Gap_Tree *T)
 {
     Print(T->root);
     cout<<endl;
 }
 int main()
 {
     //生成一棵MIN-GAP树
     Min_Gap_Tree *T = new Min_Gap_Tree;
     int x;
     char ch;
     while(1)
     {
         cout<<"请输入一个操作："<<endl;
         cout<<"I：插入一个随机数到集合中"<<endl;
         cout<<"D x：从集合中删除一个值为x的数"<<endl;
         cin>>ch;
         switch (ch)
         {
             //插入一个关键字
         case 'I':
             {
             //生成一个待插入的随机数
             x = rand() % 100;
             //显示刚刚插入的数
             cout<<"插入的数字是"<<x<<endl;
             node *z = new node(T->nil, x);
             Min_Gap_Insert(T, z);
             //输出min-gap
             cout<<"min-gap = "<<Min_Gap(T->root)<<endl;
             break;
             }
             //删除一个关键字
         case 'D':
             {
             //输入待删除的数
             cin>>x;
             //先从集合中找到值为x的数
             node *ret = Min_Gap_Search(T->root, x);
             //集合中有这个数，则删除，没有则不处理
             if(ret == T->nil)
                 cout<<"not exist"<<endl;
             else
                 Min_Gap_Delete(T, ret);
             //输出min-gap
             cout<<"min-gap = "<<Min_Gap(T->root)<<endl;
             break;
             }
         }
         cout<<endl;
     }
     return 0;
 }

四、测试代码

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