一些和图论有关的算法
1. 拓扑排序
算法：首先对每个顶点计算它的入度。然后，将所有入度为0的顶点放到一个初始为空的队列（或栈）中。当队列不空时，删除一个顶点v，并将与v邻接的所有顶点的入度均减1。只要一个顶点的入度降为0，就把该顶点放入队列中。此时，拓扑排序就是顶点出队的顺序。使用邻接表的情况下，该算法时间复杂度为O(|E|+|V|)。
public void topsort() throws CycleFoundException {
Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>();
int counter = 0;
for each Vertex v
if (v.indegree == 0)
q.enqueue(v);
while (!q.isEmpty()) {
Vertex v = q.dequeue();
v.topNum = ++counter;
for each Vertex w adjacent to v
if (--w.indegree == 0)
q.enqueue(w);
}
if (counter != NUM_VERTICES)
throw new CycleFoundException();
}
2. 无权最短路径
算法：首先，将开始顶点放入队列中，距离为0。当队列不空时，删除一个顶点v，检查与v邻接的所有顶点w，如果w的距离是INFINITY，那么w的距离加1，路径设为v，并将w放入队列中。使用邻接表的情况下，该算法时间复杂度为O(|E|+|V|)。
public void unweighted(Vertex s) {
Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>();
for each Vertex v
v.dist = INFINITY;
s.dist = 0;
q.enqueue(s);
while (!q.isEmpty()) {
Vertex v = q.dequeue();
for each Vertex w adjacent to v
if (w.dist == INFINITY) {
w.dist = v.dist + 1;
w.path = v;
q.enqueue(w);
}
}
}
3. 赋权最短路径
算法：使用Dijkstra算法。在所有unknown顶中选择具有最小dv的顶点v，将其设为known。对于所有与v邻接的顶点，如果dv+cv,w比dw小，则更新dw为dv+cv,w。该算法的时间复杂度为O(|V|2)。如果图是稠密的，该算法是最优的。如果图是稀疏的，可将距离存储在优先队列中，这样复杂度为O(|E|log|V|)。
public void dijkstra(Vertex s) {
for each Vertex v {
v.dist = INFINITY;
v.known = false;
}
s.dist = 0;
for (; ;) {
Vertex v = smallest unknown distance vertex;
if (v == NOT_A_VERTEX)
break;
v.known = true;
for each Vertex w adjacent to v
if (!w.known) {
if (v.dist + cvm < w.dist) {
// update w
decrease(w.dist to v.dist + cvm);
w.path = v;
}
}
}
}
public void printPath(Vertex v) {
if (v.path != null) {
printPath(v.path);
System.out.print(" to ");
}
System.out.print(v);
}
4. 具有负边值的图
负边权最短路径：首先，将s放到队列中。然后，在每一个阶段让一个顶点v出队。找到所有与v邻接的顶点w，使得dw > dv+cv,w。然后更新dw和路径，并在w不在队列中的时候把它放到队列中。可以为每个顶点设置一个比特位以指示它在队列中出现的情况。重复该过程直到队列为空。该算法复杂度为O(|E|*|V|)。
public void weightedNegative(Vertex s) {
Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>();
for each Vertex v
v.dist = INFINITY;
s.dist = 0;
q.enqueue(s);
while (!q.isEmpty()) {
Vertex v = q.dequeue();
for each Vertex w adjacent to v
if (v.dist + cvw < w.dist) {
// update w
w.dist = v.dist + cvw;
w.path = v;
if (w is not already in q)
q.enqueue(w);
}
}
}
5. 无圈图最短路径
算法：使用拓扑顺序选择顶点来改进Dijkstra算法。由于选择和更新可以在拓扑排序的时候进行，因此算法能够一趟完成。因为当一个顶点v被选取之后，按照拓扑排序的法则它没有从unknown顶点发出的进入边，因此它的距离dv不会再被降低。使用这种算法，不需要优先队列，时间复杂度为O(|E|+|V|)。
public void weightedNegative(Vertex s) {
Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>();
for each Vertex v {
v.dist = INFINITY;
if (v.indegree == 0) {
v.dist = 0;
q.enqueue(v);
}
}
while (!q.isEmpty()) {
Vertex v = q.dequeue();
for each Vertex w adjacent to v {
if (v.dist + cvw < w.dist) {
w.dist = v.dist + cvw;
w.path = v;
}
if (--w.indegree == 0)
q.enqueue(w);
}
}
}