bzoj4555【TJOI2016&HEOI2016】求和

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

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Description

在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:
S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为:
S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。
边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)
你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

 输出f(n)。由于结果会很大,输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000

Sample Input

3

Sample Output

87



分治+NTT,思路好

令F[i]=∑(0≤j≤i)S(i,j)*(2^j)*(j!),则f[n]=∑(0≤i≤n)F[i]。

首先,第二类斯特林数S(i,j)的意义是将i个数分到j个无序集合的方案数。

那么F[i]的含义是将i个数分到任意个有序集合的方案数,并且枚举每一个集合选或不选。

假设第一个集合有i-j个数,则其他的集合共有j个数,所以得到递推式F[i]=∑(1≤j≤i)F[j]*C(i,j)*2。

将组合数展开,两面同除以i!,得F[i]/i!=∑(F[j]/j!)*2/(i-j)!

可以发现等式右边是一个卷积的形式,而模数比较特殊,所以可以用NTT。

还有一个问题就是等式左右都有F数组,用分治可以解决,每次处理[l,mid]对[mid+1,r]的影响。




#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define N 400005
#define mod 998244353
using namespace std;
int n;
ll ans,a[N],b[N],f[N],fac[N],inv[N],rev[N];
inline ll getpow(ll x,ll y)
{
	ll ret=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;
	return ret;
}
void ntt(ll *a,int n,int flg)
{
	F(i,0,n-1) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int m=2;m<=n;m<<=1)
	{
		int mid=m>>1;
		ll wn=getpow(3,((mod-1)/m*flg+mod-1)%(mod-1));
		for(int i=0;i<n;i+=m)
		{
			ll w=1;
			F(j,0,mid-1)
			{
				ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]*w%mod;
				a[i+j]=(u+v)%mod;a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
				w=w*wn%mod;
			}
		}
	}
	if (flg==-1)
	{
		ll inv=getpow(n,mod-2);
		F(i,0,n-1) a[i]=a[i]*inv%mod;
	}
}
void solve(int l,int r)
{
	if (l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid);
	int n=mid-l+r-l,len=1;
	while ((1<<len)<n) len++;
	n=(1<<len);
	F(i,0,n-1) a[i]=b[i]=0;
	F(i,l,mid) a[i-l]=f[i];
	F(i,1,r-l) b[i-1]=inv[i]*2%mod;
	F(i,1,n-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	ntt(a,n,1);ntt(b,n,1);
	F(i,0,n-1) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
	ntt(a,n,-1);
	F(i,mid+1,r) f[i]=(f[i]+a[i-l-1])%mod;
	solve(mid+1,r);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	fac[0]=inv[0]=1;
	F(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*i%mod,inv[i]=getpow(fac[i],mod-2);
	f[0]=1;
	solve(0,n);
	F(i,0,n) ans=(ans+f[i]*fac[i]%mod)%mod;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}


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