[线性代数] 矩阵#1

一、问题的引入：
例 1：学院进行体育比赛，四个年级分别获得金、银、铜牌数见表格 1-1;																			得分与奖金
见表格 1-2; 统计每个年级的总分数和总奖金数。
		表 1-1													表 1-2
		金牌				银牌			铜牌									分值		奖金（元）
四年级			3			3			1						金牌			3		500
															银牌			2		300
三年级			5			4			2
															铜牌			1		100
二年级			4			5			6
一年级			4			4			7
														表 1-3
						总分									总奖金（元）
四年级				3×3+3×2+1×1=16										3×500+3×300+1×100=2500
三年级				5×3+4×2+2×1=25										5×500+4×300+2×100=3900
二年级				4×3+5×2+6×1=28										4×500+5×300+6×100=4100
一年级				4×3+4×2+7×1=27										4×500+4×300+7×100=3900
如用矩阵 A、B、C 分别表示表 1-1，表 1-2，表 1-3 中的有关数据，
		3		3	1				3		500				16			2500
			5	4	2											25		3900
	A =						B =		2		300				C =
			4	5	6											28		4100
											100
			4	4	7				1							27		3900

 

即：则这三个矩阵间有这样一种关系：

 

矩阵 C 完全由矩阵 A 和矩阵 B 决定，C 中每一个元素都是由 A 的某一行的元素和 B 的某一列对应元素相乘再相加得到。如 C 中第一行第二列的元素 2500=3×500+3×300+1×100，就是 A 的第一行元素与 B 的第二列对应元素相乘再相加的结果。

例 2：某单位计划在 2008 年与 2009 年两年内建造三种类型的房屋，建造每种房屋的数

 

168

 

量如表 1-1，每 100m² 房屋各种材料的耗用量如表 1-2，试求 2008 年与 2009 年计划建造房屋所需的各种材料的耗用量。

 

表 2-1

 

		类型
				甲		乙		丙
	年份
2008				a11		a12		a13
2009				a21		a22		a23
				表 2-2
	材料
				水泥（t）		钢筋（t）		木材（m2）
	类型
	甲			b11		b12		b13
	乙			b21		b22		b23
	丙			b31		b32		b33

 

解：依题意，2008 年和 2009 年计划建造房屋所需的各种材料的耗用量为表 2-3

 

表 2-3

 

	材料
		水泥(t)		钢筋(t)	木材（m2）
年份
2008		a11b11	+ a12 b21	a11b12 + a12 b22	a11b13 + a12 b23
		+ a13 b31		+ a13 b32	+ a13b33
2009		a21b11	+ a22 b21	a21b12 + a22 b22	a21b13 + a22 b23
		+ a23 b31		+ a23 b32	+ a23b33

 

用矩阵 A、B、C 表示上面表格

 

a		a		a
A =	11	12		13
	a	a	22	a
	21			23

 

	b11	b12	b13
B =	b	b	b
	21	22	23
	b	b	b
	31	32	33

a b  + a b  + a b								a b  + a b  + a b						a b  + a b  + a b
C =	11	11	12		21	13	31	11	12	12	22	13	32	11	13	12	23	13	33
	a b  + a			b  + a b				a b  + a b  + a b						a b  + a b  + a b
	21	11		22	21	23	31	21	12	22	22	23	32	21	13	22	23	23	33

 

则 C 中的元素也是由是由 A 的某一行的元素和 B 的某一列对应元素相乘再相加得到。这种由矩阵 A 和矩阵 B 决定矩阵 C 的方法就是矩阵的乘法。

二、矩阵乘法概念

^{定义 设 A = ( a}ij ⁾m× r ^，B = (bij ⁾r ×n ^{，则由元素 c}ij ⁼ ∑^aik ^bkj ^= ai1^b1 j ^+ ai 2 ^b2 j ^{+ + a}ir ^brj k =1

 

构成的矩阵 C = ( c_ij )_m× n 称为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积，记为 C = AB .

 

这个定义说明，矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元素等于第一个矩阵 A 的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和。并且矩阵 C 的行数等于矩阵 A 的行数，列数等于矩阵 B 的列数。

  

 AB 和 BA 都有意义且他们的行数、列数相同，但 AB 和 BA 也不一定相等。此例还说明两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

虽然 AC = BC 且 C ≠ O ，但不能推出 A = B 。根据上面的例题，在做乘法计算时要注意以下几点：1．矩阵乘法不满足交换律，一般来说 AB ≠ BA ；

 

2．矩阵乘法不满足消去律，一般来说，当 AB = AC 且 A ≠ O 时，不一定有 B = C ；3．一般由 AB = O ，不能推出 A = O 或 B = O ，这时称 A （ B ）是 B （ A ）的左（右）零

因子。

 

三、运算规律

 

^{1．结合律} ( AB)C = A(BC)

 

2．分配律
( A + B)C = AC + BC		A(B + C) = AB + AC
k( AB) = (kA)B
定义 方阵的幂  Am	= AA	A m个 A连乘。
n×n

代码实现矩阵乘法：

#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<algorithm>  
using namespace std;  
int ai,aj,bi,bj;  
struct Mart  
{  
    long long a[205][205];  
}A,B,C;  
void Martix(Mart A,Mart B)  
{  
    for(int i=1;i<=ai;i++)  
    {  
        for(int j=1;j<=bj;j++)  
        {  
            for(int k=1;k<=aj;k++)  
            {  
                C.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j];  
            }  
            printf("%d ",C.a[i][j]);  
        }  
        printf("\n");  
    }  
}  
int main()  
{  
    scanf("%d%d",&ai,&aj);  
    for(int i=1;i<=ai;i++)  
        for(int j=1;j<=aj;j++)  
            scanf("%lld",&A.a[i][j]);  
    scanf("%d%d",&bi,&bj);  
    for(int i=1;i<=bi;i++)  
        for(int j=1;j<=bj;j++)  
            scanf("%lld",&B.a[i][j]);  
    Martix(A,B);  
    return 0;     
}