STL-AVL Tree

AVL Tree

概述

AVL Tree是加了平衡条件的二叉搜索树。其平衡条件的建立是为了确保整棵树的深度为O(logN)。
AVL Tree 规则：
- 二叉搜索树
- 任何节点的左右子树高度相差最多1
Note：二叉搜索树，每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大。

Why

为什么不用二叉搜索树，二叉搜索树的极端情况：

如图相当于一个链表，在查找上的优势已经全无，这种情况下，查找一个结点的时间复杂度是O(N)。

Rotation

假设有一个结点的平衡因子（左右高度差）为2，即出现了不平衡的情况，那么就需要进行调整。由于一个结点最多只有两个子节点，所以当高度不平衡时，可能是如下4中情况：

其中情况1,4对称，称为外侧（ouside）插入，可以采用单旋转操作（Single Rotation）调整解决。情况2,3彼此对称，称为内侧（inside）插入，可以采用双旋转（Double Rotation）调整解决。

单旋转（Single Rotation）

在外侧插入状态中，插入元素11后，k2-插入前平衡，插入后不平衡
k2的左子树比右子树高2层。

首先我们要找到，插入元素后，使之不平衡的节点，在上图中是k2。
为了调整平衡状态，我们希望将k2的左子树A提高一层，并将右子树C下降一层。上图中右侧即是调整后的情况。
我们可以这么看，把k1向上提起，使k2自然下滑，并将B子树挂到k2的左侧。这么做是因为，二叉搜索树的规则使我们知道，k2>k1，所以k2必须成为新树形中的k1的右子节点。二叉搜索树的规则告诉我们，B子树的所有节点的键值都在k1和k2之间，所以新树形中的B树必须落在k2的左侧。

双旋转（Double Rotation）

下图左侧为内侧插入所造成的不平衡状态。单旋转无法解决这种情况。
- 我们不能再以k3为根节点
- 我们也不能将k3和k1做一次单旋转，因为旋转后还是不平衡
唯一的可能是以k2为新的根节点，这使得（根据二叉搜索树的规则）k1必须成为k2的左子节点，k3必须成为k2的右子节点。新的树形满足AVL-Tree的平衡条件，并且恢复了节点插入之前的高度，因为保证不再需要任何调整。

旋转的方法：