算法导论学习笔记（四） 初稿

5.1 雇用问题

• 平均运行时间：所有可能输入分布取平均值的运行时间
• 期望时间：随机算法的运行时间
• 当概率分布是在算法的输入上时，讨论平均运行时间，当算法本身做出随机选择时，讨论期望运行时间

5.2 指示器随机变量

个人感觉与独立重复试验类似

1. 核心：将问题分解为子问题

2. 应聘者问题的指示器随机变量解法
   

   E[X]=∑x=1nxP{X=x}=∑i=1nE[xi]=∑i=1n1/i=lnn+O(1)

3. 关于例题

   • 帽子核对问题
     对于每个顾客，拿到自己的帽子的概率为 1/n ，故其数学期望为 ∑ni=11/n=1

   • 逆序对问题
     对于每一组数的组合，都有一半的概率为逆序，故其数学期望为 C2n⋅12=n(n−1)/4

5.3 随机算法

1. 含义
   让分布固定，而通过特定算法实现随机化。

2. 随机排列数组

   • PERMUTE-BY-SROTING

     • 即为每一个数组元素随机分配一个rank值，并以rank重新排列这些元素。
     • 通过条件概率可证明每种分配的可能均为1/n!
     • 通过5.3-4可知，对于每个元素A[i]，排在任一位置的概率均为1/n，并非是证明均匀随机排列的充分条件

   • RANDOMIZE-IN-PLACE

     • 即对于每个元素，都与它后面（包含自身）的元素相交换。

     • 证明

       • 初始化：初始化赋值i=2（涉及讨论i=1的空数组，故先显式交换一次），即对于每个1排列，长度为1的子数组包含这种排列的概率为 (n−1)!/n!=1/n ，第一次循环迭代前循环不变式成立。

       • 保持：假设i次迭代前每种(i-1)排列出现概率为 (n−i+1)!/n! ，则第i次迭代后，概率为 1n−i+1⋅(n−i+1)!n!

       • 终止：终止时，i=n+1，子数组任一排列概率为 1/n!

5.4 特征序列

• 问题：抛一枚标准硬币n次，求最长连续正面的数学期望

• 思路： 类似夹逼准则

• 证明过程：

  • O(lgn)

    • 设连续掷硬币k次，k=2lgn。

    • 起始于某一位置，长度**大于等于**k的序列至多有n-k+1个，故开始于任一位置的概率总和小于等于
      

      ∑i=1n−k+11/2k≤∑i=1n−k+11/n2<∑i=1n1/n2=1/n

    • 由定义知
      

      E[L]=∑j=0njP{Lj}=∑j=0k−1jP{Lj}+∑j=knjP{Lj}
      
      其中j为长度的具体值。

    • 显然，当j较大时 P{Lj} 较小，当 P{Lj} 较大时j较小，故
      

      E[L]<∑j=0k−1kP{Lj}+∑j=knnP{Lj}<k∑j=0k−1P{Lj}+1
      
      又因为 ∑k−1j=0P{Lj}<1 ，原式小于 O(k)=O(lgn)

  • Ω(lgn)

    • 把n次投掷划分为n/s组，每组掷s次，s取lgn/2。

    • 显然任一一组，结果为同一面（假设为正面）概率为
      

      1/2s=1/n√

    • 故每组都不是同一面概率为
      

      (1−1/n√)n/s−1≤e(n/s−1)/n√=O(e−lgn=O(1/n))

    • 对j值较小的部分，其值忽略不计，因此
      

      ∑j=0njP{Lj}≥∑j=snjP{Lj}≥s∑j=snP{Lj}≥s(1−O(n))=Ω(lgn)

• 结论：特征序列长为lgn。

• 指示器随机变量的近似结果： n−k+12k ，且带入k=lgn时值近似符合要求。

5.5 在线雇佣问题

• 问题：只雇佣一次应聘者，并且每次应聘必须决定是否雇佣这个人。

• 实现思路：选择一个正整数k，面试并拒绝前k个应聘者，并雇佣后面第一个分数比前k个应聘者中分最高者还高的人，若没有则雇佣最后一个人。问题转化为寻找k的最优值。

• 过程：

  • 令 P{Si} 表示应聘者为第i时面试成功的概率， Bi 表示最佳面试者为第i人的概率， M(j) 表示前1~j人中的最高分， Oi 表示从k+1到i-1的应聘者都小于 M(k) 的概率。

  • 显然
    

    P{S}=∑i=k+1nP{Si}
    
    
    P{Bi}=1/n
    
    
    P{Oi}=k/(i−1)
    
    
    P{Si}=P{Bi}⋅P{Oi}

  • 解得 P{S}=kn(lnn−lnk)

  • 求导，得 k=n/e