《矩阵论》

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于 $\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设 $A$ 是零模式矩阵, 用 $Q_\bbF(A)$ 记元素属于域 $\bbF$ 的具有零模式 $A$ 的矩阵的集合, 即若 $B\in Q_F(A)$, $B=(b_{ij})$, $A=(a_{ij})$, 则 $b_{ij}=0$ 当且仅当 $a_{ij}=0$. 设 $\bbF$ 的元素不少于 $3$ 个. 证明: $Q_\
·2014-11-13 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1

1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明:   (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.   (2). 若 $A$ 的每个对焦元素为 $0$ 且 $A$ 的每个 $2$-圈都是负的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可
·2014-11-13 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.15

15. (Hu-Li-Zhan) 秩为 $k$ 的 $n$ 阶对称 $0-1$ 矩阵中 $1$ 的个数可能是哪些数呢?       解答: 见 [Q. Hu, Y.Q. Li, X.Z. Zhan, Possible numbers of ones in $0-1$ matrices with a given rank, Linear Multilinear
·2014-11-12 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵 $A$ 具有 (6.22) 的形式并且 $A$ 没有零行也没有零列. 证明: $A$ 不可月且非本原指标为 $k$ 当且仅当乘积 $$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$$ 是本原矩阵.       证明: 见 [J.Y. Shao, Matrices permutatio
·2014-11-12 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13

13. (Sinkhorn) 设 $A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵 $D_1$ 和 $D_2$ 使得 $D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).       证明: 见 [R. Sinkhorn, A relationship between arbitrary positive ma
·2014-11-12 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.11

11. (Gasca-Pena) 一个 $n$ 阶可逆矩阵 $A$ 是全面非负的当且仅当对每个 $1\leq k\leq n$, $$\bex \det A[1,2,\cdots,k]>0, \eex$$ $$\bex \det A[\al\mid 1,2,\cdots,k]\geq 0,\quad \det A[1,2,\cdots,k\mid \al]\geq 0,\quad \fora
·2014-11-12 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢?       解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨 $$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$$ 在条件 $$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=
·2014-11-11 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.9

9. (Hopf) 将 $n$ 阶正矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$$ 并记 $$\bex \al=\max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}, \quad \beta=\min \max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq
·2014-11-11 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

8. 设 $A$ 是个不可约奇异 $M$-矩阵, 则存在正向量 $x$ 满足 $Ax=0$.       证明: 由 $A$ 为 $M$-矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0. \eex$$ 又 $A$ 奇异, $$\bex 0=|A|=|cI-B|\ra c\in \sigma(A)\ra c
·2014-11-10 19:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.7

7. 设 $A$ 是个非负幂零矩阵, 即存在正整数 $p$ 使得 $A^p=0$. 则 $A$ 置换相似于一个上三角矩阵.       证明: 由 $A^p=0$ 知 $\sigma(A)=0$, 而 $\rho(A)=0$. 据定理 6.8 (Perron-Frobenius), $A$ 可约. 从而存在置换阵 $P$, 使得 $$\bex P^TAP=\s
·2014-11-10 19:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.6

6. 设 $A$ 是个非负本原方阵, 则 $$\bex \vlm{k} [\rho(A)^{-1}A]^k =xy^T, \eex$$ 其中 $x$ 和 $y$ 分别是 $A$ 和 $A^T$ 的 Perron 根, 满足 $xy^T=1$.       证明: 由 $A$ 本原知 $A$ 的特征值为 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq
·2014-11-10 19:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.5

5. (Levinger, 1970) 设 $A$ 是个不可约非负方阵, 则函数 $$\bex f(t)=\rho[tA+(1-t)A^T] \eex$$ 在 $[0,1/2]$ 上递增, 在 $[1/2,1]$ 上递减.       证明:   (1). 当 $$\bex 0\leq s<t\leq\frac{1}{2} \eex$$ 时
·2014-11-10 19:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设 $A$ 是个不可约非负方阵, $0\leq t\leq 1$, 则 $$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$$       证明:   (1). 先证明: $$\bex 0\leq x,y\in\bbR^n, \sum_{i=1}^n x_i=\sum_{i=1}^n y_i>0\ra
·2014-11-10 19:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3

3. 设 $\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 $A$ 使得 $\lm$ 是 $A$ 的一个特征值.       证明:   (1). 首先 $A$ 的阶数须 $\geq 3$. 当 $n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数. 当 $n=2$ 时, 由 $$\beex \bea |\lm I-A|&=\lm^2 -(a_{1
·2014-11-10 14:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2

2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$.       证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.26 (Frobenius), $A$ 本原, 而不可约, $A$ 的每一行都有一个正元素. 由此, $$\bex (A^{p+1})_{ij}=(AA
·2014-11-10 14:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负?       解答: 设 $A\geq0$ 可逆, 且其逆 $A^{-1}=B\geq 0$. 则 $$\bex I_n=AB=BA. \eex$$ 对 $A$ 的第 $i$ ($1\leq i\leq n$) 列, 由 $A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0. \eex$$
·2014-11-10 14:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

5. (Friedland) 给定 $A\in M_n$, $\lm_i\in \bbC$, $i=1,\cdots,n$. 证明: 存在对角矩阵 $D\in M_n$ 使得 $\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$, 并且满足上述条件的对角矩阵 $D$ 只有有限多个.     证明: 见 [S. Friedland, Matrices
·2014-11-07 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.4

4. (G.M. Krause) 令 $$\bex \lm_1=1,\quad \lm_2=\frac{4+5\sqrt{3}I}{13},\quad \lm_3=\frac{-1+2\sqrt{3}i}{13},\quad v=\sex{\sqrt{\frac{5}{8}},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{1}{8}}}^T. \eex$$ 再令 $$\bex A=\diag(\
·2014-11-07 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.3

3. (Bhatia-Davis) 设 $A,B\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \rd(\sigma(A),\sigma(B))\leq \sen{A-B}_\infty. \eex$$     证明: [见 R. Bhatia, C. Davis, A bound for the spectral variation of a unitary opera
·2014-11-07 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用 $\im A$ 表示 $A\in M_n$ 的像空间: $$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$$ 设 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty<1. \eex$$ 证明: $$\bex \dim \im A=\dim \im B. \eex$$     证明:
·2014-11-07 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

1. $A\in M_n$ 称为正交投影矩阵如果 $A$ 是 Hermite 矩阵且幂等: $$\bex A^*=A=A^2. \eex$$ 证明: 若 $A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 则 $\sen{A-B}_\infty \leq 1$.     证明: 由 $A^*=A$ 知 $A$ 可酉对角化. 又由 $A^2=A$ 知 $A$ 的特征值为 $0$ 或
·2014-11-07 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.17

17. (Ando-Zhan) 设 $A,B\in M_n$ 半正定, $\sen{\cdot}$ 是一个酉不变范数, 则 $$\bex \sen{(A+B)^r}\leq \sen{A^r+B^r},\quad (0<r\leq 1), \eex$$ $$\bex \sen{(A+B)^r}\geq \sen{A^r+B^r},\quad (1\leq r<\infty). \eex
·2014-11-05 19:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.16

16. (Fan-Hoffman) 设 $A\in M_n$, $A=UP$ 为极分解, $U$ 为酉矩阵, $P$ 为半正定矩阵. 若 $W\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \sen{A-U}\leq \sen{A-W}\leq \sen{A+U} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.       证明: (1). 仅须证明: 对正定阵 $P$
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.15

15. (Fan-Hoffman) 设 $A,H\in M_n$, 其中 $H$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.       证明: (1). 先证明 $$\bex \sen{\cdot} \mbox{ 是酉不变范数}, X\in M_n\ra \sen
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.14

14. 设 $A,B\in M_n$, 则对 $M_n$ 上的任何酉不变范数有 $$\bex \frac{1}{2}\sen{\sex{\ba{cc} A+B&0\\ 0&A+B \ea}}\leq \sen{\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}} \leq \sen{\sex{\ba{cc} |A|+|B|&0\\ 0&0 \ea
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.13

13. (Bhatia-Davis) 设 $A,B,X\in M_n$, 则 $$\bex \sen{AXB^*}\leq \frac{1}{2}\sen{A^*AX+XB^*B} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.       证明: 见 [R. Bhatia, C. Davis, More matrix forms of the arithmetic-g
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 则对 $A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}. \eex$$       证明: 由推论 4.7, $$\bex
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11. $M_n$ 上的范数 $\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n. \eex$$ 证明: $\sen{\cdot}$ 对称当且仅当 $\sen{\cdot}$ 是酉不变的.     &nbs
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.10

10. 设 $A,B\in M_n$ 并且 $AB$ 为 Hermite 矩阵, 则对任何酉不变范数 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{\Re(BA)}. \eex$$       证明: (1). 先证明 $$\bex x\prec y\ra |x|\prec_w|y|. \eex$$ 事实上, 由 $x\prec y$ 知 $$\beex
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.9

9. 设 $\sen{\cdot}$ 是 $M_n$ 上的酉不变范数, 则 $\sen{\cdot}$ 是次可乘当且仅当 $$\bex \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\geq 1. \eex$$       证明: $\ra$: 若 $\sen{\cdot}$ 次可乘, 则 $$\beex \bea \sen{\diag(1,0,\cdot
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 设 $x,y\in \bbR^n_+$, 则对 $\bbR^n$ 上的任何对称规度函数 $\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x^p)]^\frac{1}{p} [\varphi(y^q)]^\frac{1}{q}, \eex$
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.7

7. 设 $A_0\in M_n$ 正定, $A_i\in M_n$ 半正定, $i=1,\cdots,k$, 则 $$\bex \tr \sum_{j=1}^k \sex{\sum_{i=0}^jA_i}^{-2}A_j<\tr A_0^{-1}. \eex$$       证明: 记 $$\bex \sum_{i=0}^j A_i=B_j, \eex
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.6

6. 设 $A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n. \eex$$       证明: $$\beex \bea s_j(A-B) &=\lm_j\sex{\sex{\ba{cc} A-
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5

5. 设 $A,B\in M_n$, 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$       证明: 由定理 4.3 (Ky Fan), $$\bex s_j(AB)\leq s_1(A
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.4

4. 设 $A=(a_{ij})\in M_n$, 则 $$\bex \sex{|a_{11}|,\cdots,|a_{nn}|}\prec_ws(A). \eex$$       证明: 一般我们都用 Fan 支配原理的顺推情形: $$\bex s(A)\prec s(B)\lra \mbox{ 对任意酉不变范数 }\sen{\cdot},\ \sen{A}
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

3. $G\in M_n$ 称为一个秩 $k$ 部分等距矩阵, 若 $$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$$ 证明对 $X\in M_n$, $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\max\sed{|\tr(XG)|; G\mbox{ 是个秩 }k\mbox{ 部分等距矩阵, }G
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.2

2. (Thompson). 设 $A,B\in M_n$, 则存在酉矩阵 $U, V\in M_n$ 满足 $$\bex |A+B|\leq U|A|U^*+V|B|V^*. \eex$$       证明: (1). 仅须在 $C\equiv A+B$ 正定的情形下证明结论成立. 事实上, 对一般的 $C$, 由极分解, 存在酉阵 $W$, 半正定阵 $P
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.1

1. (Fan-Hoffman). 设 $A\in M_n$, 记 $\Re A=(A+A^*)/2$. 则 $$\bex \lm_j(\Re A)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,n. \eex$$       证明: 对适合 $\sen{x}=1$ 的 $x\in\bbC^n$, $$\beex \bea x^*(\Re A)x&a
·2014-11-05 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.15

15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$\bex \max\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}\mbox{ 和 } \min\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}, \eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵.    
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.14

14. 用 Hadamard 不等式 (3.5) 证明下面的不等式 (也称为 Hadamard 不等式): 设 $A=(a_1,\cdots,a_n)\in M_n$, 则 $$\bex |\det A|\leq \prod_{i=1}^n \sen{a_i}, \eex$$ 其中 $\sen{\cdot}$ 表示列向量的欧氏范数.     证明: 既然 $$\bex A
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.13

13. (Caylay 变换) 记 $i=\sqrt{-1}$. 若 $A$ 为 Hermite 矩阵, 则 $$\bex \phi(A)=(A-iI)(A+iI)^{-1} \eex$$ 是一个酉矩阵.     证明: $$\beex \bea \phi(A)^*\phi(A) &=(A-iI)^{-1}(A+iI)(A-iI)(A+iI)^{-1}\\ &am
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.12

12. (Webster) 设 $A=(a_{ij})$ 是有 $k$ 个正元素的 $n$ 阶双随机矩阵. 证明, 存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列 $\sigma$ 使得 $$\bex \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_{i\sigma(i)}}\leq k. \eex$$     证明: 由 Birkhoff 定理 (第 35 页), $$\
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.11

11. (Ky Fan) 对于 $A\in M_n$, 记 $\Re A=(A+A^*)/2$. 证明: $$\bex \Re \lm(A)\prec \lm(\Re A), \eex$$ 其中 $\lm(A)$ 表示 $A$ 的特征值作成的向量, $\Re\lm(A)$ 表取 $A$ 的特征值的实部所得向量.     证明:   (1). 先证明对 Her
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.10

10. 设 $A,B$ 是同阶半正定矩阵, $0\leq s\leq 1$. 证明: $$\bex \sen{A^sB^s}_\infty \leq \sen{AB}_\infty^s. \eex$$     证明:   (1). 先证明: $A$ 的谱范数就是 $A$ 的最大奇异值. 事实上, $$\beex \bea \sen{A}_\infty^2 &
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.9

9. 用公式 $$\bex t^r=\frac{\sin r\pi}{\pi}\int_0^\infty \frac{s^{r-1}t}{s+t}\rd s\quad \sex{0<r<1} \eex$$ 证明定理 3.24.     证明:   (1). 先证 $$\bex A\geq B>0\ra B^{-1}-A^{-1}\geq 0
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.8

8. 证明每个半正定矩阵都有唯一的半正定平方根, 即若 $A\geq 0$, 则存在唯一的 $B\geq 0$ 满足 $B^2=A$.     证明: 由 $A\geq 0$ 知存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex U^*AU=\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n),\quad \lm_i\geq 0. \eex$$ 取 $$\bex B=U\diag(\s
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.7

7. 设 $A\in M_n$ 正定, $1\leq k\leq n$. 则 $$\bex \prod_{j=1}^n \lm_j(A)=\max_{U^*U=I_k} \det U^*AU,\quad \prod_{j=1}^n \lm_{n-j+1}(A)=\min_{U^*U=I_k} \det U^*AU, \eex$$ 其中 $U\in M_{n,k}$.    
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6

6. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 是正定矩阵, $B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$\bex A+B\mbox{ 正定当且仅当 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n. \eex$$     证明: $$\beex \bea &\quad A+B\mbox{ 正定}\\ &\lra E+A^{-
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.5

5. 不用 Weierstrass 定理, 直接证明 Hermite 矩阵的函数运算 (3.6) 与特定的谱分解无关.     证明: 设 $H$ 也有谱分解 $$\bex H=V\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n)V^*, \eex$$ 则 $$\bex W\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n)=\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.4

4. 设 $x,y,u\in\bbR^n$ 的分量都是递减的. 证明:   (1). 若 $x\prec y$ 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.   (2). 若 $x\prec_w y$ 且 $u\in\bbR^n_+$, 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.     证明:   (1
·2014-11-01 11:00
上一页 5 6 7 8 9 10 11 12 下一页
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他