《矩阵论》

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.3

3. (Aronszajn) 设 $$\bex C=\sex{\ba{cc} A&X\\ X^*&B \ea} \eex$$ 为 Hermite 矩阵, $C\in M_n$, $A\in M_k$. 设 $A,B,C$ 的特征值分别为 $\al_1\geq \cdots\geq \al_k$, $\beta_1\geq \cdots \beta_{n-k}$, $\gamma_1
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.2

2. 设 $A\in M_n$, $B\in M_{r,t}$ 是 $A$ 的一个子矩阵. 则它们的奇异值满足 $$\bex s_j(B)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,\min\sed{r,t}. \eex$$     证明: 不妨设 $r\geq t$, 而 $B^*B$ 的特征值的非负平方根为 $B$ 的奇异值. 由于置换相似不改变奇异值,
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.1

1. 设 $A\in M_n$. 证明若 $AA^*=A^2$, 则 $A^*=A$.     证明: 由 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex A=U^*BU, \eex$$ 其中 $B=(b_{ij})$ 为上三角阵. 于是 $$\bex U^*BB^*U=AA^*=A^2=U^*B^2U\ra BB^*=B^2. \eex$$ 比较两端
·2014-11-01 11:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.9

9. 记 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$. 复合矩阵映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗?     解答: 当 $k=1$ 时, $C_k(A)$ 就是 $A$ 的每个元素. 故 $C_k$ 是单射也是满射. 当 $k\geq 2$ 时, 一般地, $C_k$ 不是单射, 比如 $$\bex \sex{\ba{cc
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.8

8. 设 $k\leq m\leq n$. 怎样的矩阵 $A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素?     解答: 由定理 2.5 (K\"onig), $A$ 的每条对角线都含有 $k$ 个零元素 $\lra$ $A$ 有一个 $r\times s$ 的零子矩阵, $r+s=n+k$; $A$ 有一条对角线含有 $k+1$ 个零元素
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.7

7. (Marcus-Ree) 一个非负矩阵称为是双随机的, 若它的每行元素之和等于 $1$, 且它的每列元素之和也等于 $1$. 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶双随机矩阵, 则存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列 $\sigma$ 使得对每个 $i=1,\cdots,n$, $$\bex a_{i\sigma(i)}\geq \sedd{\ba{ll} \cfrac{1}
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.6

6. (Embry) 我们说两个矩阵 $X$, $Y$ 可交换是指乘法可交换, 即 $XY=YX$. 设 $A,B\in M_n$ 满足 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$. 如果 $C\in M_n$, $C$ 与 $A+B$ 可交换并且 $C$ 与 $AB$ 可交换, 则 $C$ 与 $A$ 和 $B$ 都可交换.     证明: 由 $\s
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.5

5. 设 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $C\in M_{m,n}$. 若 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$, 则 $$\bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}. \eex$$   &nbs
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.4

4. 设 $A=\diag(A_1,\cdots,A_k)\in M_n$, 其中 $A_i\in M_{n_i}$, 且 $\sigma(A_i)\cap \sigma(A_j)=\vno$, $i\neq j$. 若 $B\in M_n$ 且 $AB=BA$, 则 $B=\diag(B_1,\cdots,B_k)\in M_n$, 其中 $B_i\in M_{n_i}$.   &
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.3

3. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 正定, $B$ 半正定且对角元素都是正数, 则 $A\circ B$ 正定.     证明: 由 Schur 定理, $A\circ B$ 半正定, 而其特征值 $\geq 0$. 为证 $A\circ B$ 正定, 仅须证明 $\det(A\circ B)>0$ ($\ra$ 任一特征值 $>0$). 而这可直接
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.2

2. 给出定理 2.4 的另一个证明.     证明: 设 $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ 半正定 (正定), 要证 $A$ 和 $B$ 的 Hadamard 积 $$\bex A\circ B=(a_{ij}b_{ij}) \eex$$ 也半正定 (正定). 只证半正定的情形. 证明如下: 首先, $A\circ B$ 对称. 其次, 可设 $B=
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.1

1. 对于怎样的 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $A\otimes B=I$?     解答:     写出     $$\bex     A\otimes B=\sex{\ba{ccc}     
·2014-10-29 10:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.14

14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?     解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, 使得 $$\bex f(A)=PAP^T,\quad \forall\ A\in M_n; \ee
·2014-10-29 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.13

13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 $4$ 个实正交矩阵的线性组合, 即若 $A$ 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 $Q_i$ 和实数 $r_i$, $i=1,2,3,4$, 使得 $$\bex A=r_1Q_1+r_2Q_2+r_3Q_3+r_4Q_4. \eex$$     证明: (1). 先证明: $A$ 的谱范数就是 $A$ 的最大奇异值.
·2014-10-29 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.12

12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 $A\in M_n$, $B,C\in M_{n,k}$ 使得 $I+C^*A^{-1}B$ 可逆, 其中 $I$ 是单位阵. 证明 $A+BC^*$ 可逆且 $$\bex (A+BC^*)^{-1} =A^{-1} -A^{-1}B (I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}. \eex$$  
·2014-10-29 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.11

11. (Gersgorin 圆盘定理) 用 $\sigma(A)$ 表示 $A=(a_{ij})\in M_n$ 的特征值的集合, 记 $$\bex D_i=\sed{z\in\bbC;\ |z-a_{ii}|\leq \sum_{j\neq i}|a_{ij}|},\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: $$\bex \sigma(A)\subset \cup_{i=1}
·2014-10-29 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.10

10. 矩阵 $A=(a_{ij})\in M_n$ 称为严格对角占优, 如果 $$\bex |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: 严格对角占优矩阵是可逆的.     证明: 用反证法. 若 $A$ 不可逆, 则 $Ax=0$ 有非零解 $x=(x_1,\cdots,x_n)^T
·2014-10-29 09:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.9

9. 证明对任意的复方阵 $A$, $$\bex \rho(A)\leq w(A)\leq \sen{A}_\infty. \eex$$     证明: 对 $\lm\in \sigma(A)$, $$\bex \exists\ x:\ \sen{x}_2=1,\st Ax=\lm x. \eex$$ 而 $$\bex |\lm|=\sev{\sef{Ax,x}}\leq
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.8

8. 证明任何一个复方阵都酉相似于某个对角元素全部相等的矩阵.     证明: (1). 先证每个迹为零的矩阵都酉相似于对角元素全为零的矩阵. 对阶 $n$ 作数学归纳法. 当 $n=1$ 时, 结论自明. 假设结论对阶 $\leq n-1$ 时都成立, 则当阶为 $n$ 时, $$\bex A=(a_{ij}),\quad \tr A=a_{11}+\cdots+a_{
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.7

7. 设 $A_j\in M_n$, $j=1,\cdots,m$, $m>n$, 且 $\dps{\sum_{j=1}^m A_j}$ 非奇异 (即可逆). 证明: 存在 $S\subset \sed{1,2,\cdots,m}$ 满足 $|S|\leq n$ 且 $\dps{\sum_{j\in S}A_j}$ 非奇异.     证明: 对 $m$ 作数学归纳法
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.6

6. 设 $A\in M_{m,n}$, $B\in M_{n,m}$. 证明: $$\bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex$$ 相似, 从而给出定理 1.14 的另一个证明.     证明: $$\bex \sex{\ba{c
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.5

5. (Gelfand) 设 $A\in M_n$, 证明: $$\bex \rho(A)=\vlm{k}\sen{A^k}_\infty^\frac{1}{k}. \eex$$     证明: (1). 对 $\forall\ \lm\in \sigma(A)$, $$\bex \exists\ x\neq 0,\st Ax=\lm x, \eex$$ 而 $$\bex
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.4

4. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 和谱范数 $\sen{\cdot}_\infty$ 满足如下关系: $$\bex \frac{1}{2}\sen{A}_{\infty} \leq w(A)\leq \sen{A}_\infty,\quad A\in M_n. \eex$$     证明: (1). 当 $\sen{x}_2=\sen{y}_2=1$ 时, $$\
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.3

3. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 是 $M_n$ 上的一个范数.     证明: (1). $$\beex \bea w(A)&\geq 0;\\ w(A)=0&\ra x^*Ax=0,\quad \forall\ x\\ &\ra x^*Ay=\frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 i^k(x+i^ky)^*A(x+i^ky)=
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.2

2. (Oldenburgere) 设 $A\in M_n$, $\rho(A)$ 表示 $A$ 的谱半径, 即 $A$ 的特征值的模的最大者. 证明: $$\bex \vlm{k}A^k=0\lra \rho(A)<1. \eex$$     证明: $\ra$: 由 Jordan 标准型理论, 存在可逆阵 $P$, 使得 $$\bex P^{-1}AP=\sex
·2014-10-29 08:00

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.1

1. 设 $a_1,\cdots,a_n$ 为正实数, 证明矩阵 $$\bex \sex{\frac{1}{a_i+a_j}}_{n\times n} \eex$$ 半正定.     证明: $$\beex \bea \sum_{i,j=1}^n \frac{1}{a_i+a_j}x_ix_j &=\sum_{i,j=1}^n x_ix_j\int_0^1 t^{
·2014-10-29 08:00

矩阵的特征值和特征向量的雅克比算法C/C++实现

矩阵的特征值和特征向量是线性代数以及矩阵论中非常重要的一个概念。在遥感领域也是经常用到，比如多光谱以及高光谱图像的主成分分析要求解波段间协方差矩阵或者相关系数矩阵的特征值和特征向量。
zhouxuguang236·2014-10-18 16:00

图像处理与计算机视觉：基础，经典以及最近发展（2）图像处理与计算机视觉相关的书籍

所对应的数学知识是高等数学（微积分），线性代数（矩阵论），概率论和随机过程。这三门课也是考
PINBODEXIAOZHU·2014-09-30 15:00

机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子
macyang·2014-08-22 13:00

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wenyusuran·2014-06-27 18:00

斯坦福机器学习公开课学习笔记(2)—监督学习 梯度下降

公式比较多，不过还比较基础，主要是一些矩阵论的应用。2.笔记     Gradinganddescent主要用到的就是一个回归的思路。整体的流程见下图。  
gshengod·2014-06-06 16:00

强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个
zhubo22·2014-05-06 10:00

矩阵的本质

最近复习矩阵论中，又是一堆定理和证明突然发现学了这么常时间的矩阵论、线性代数，记住的只是一堆莫名其妙的定理而已，一些本质的东西都没有搞清楚。
xinyizhangwei·2014-04-17 12:00

SVD奇异值分解：主成分分析的矩阵论解释

SVD分解SVD分解是LSA的数学基础，本文是我的LSA学习笔记的一部分，之所以单独拿出来，是因为SVD可以说是LSA的基础，要理解LSA必须了解SVD，因此将LSA笔记的SVD一节单独作为一篇文章。本节讨论SVD分解相关数学问题，一个分为3个部分，第一部分讨论线性代数中的一些基础知识，第二部分讨论SVD矩阵分解，第三部分讨论低阶近似。本节讨论的矩阵都是实数矩阵。基础知识1.矩阵的秩：矩阵的秩是矩
whiteinblue·2014-03-18 09:00

矩阵理解（转）

矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。
tiandijun·2014-03-07 23:00

理解矩阵

  矩阵的意义非常重要，理解好矩阵对于学习线性代数、矩阵论、机器学习等很重要，如何去真正去理解矩阵呢？看了孟岩老师写的理解矩阵系列，受益匪浅！
u012841335·2014-02-22 20:00

工作中遇到的两个数学问题的记录

在图形处理中矩阵论和线性代数应用也是比较多的。比如以下的两个问题：1，若网卡地址全球唯一，计算机上可能有多个网卡，找到两台计算要多个网卡地址相加之后的数值相等的概率？2，效验码的生成。
Feng______·2014-01-03 20:00

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zhang11wu4·2013-11-06 09:00

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android_asp·2013-10-29 18:00

OpenCV - 计算矩阵(cv::Mat)的特征值和特征向量

semi-definitematrix):矩阵的特征值都是非负数(正数和0);判断矩阵是否正定或者半正定就需要计算矩阵的特征值和特征向量,可以使用OpenCV中的eigen()函数进行计算.数学计算的方法可以参考"矩阵论
u012515223·2013-10-28 10:00

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morndragon·2013-10-28 10:00

[Math]矩阵特征值

A-lamda*I特征值与特征向量http://hi.baidu.com/jjgjklk/item/777f24ee79aef2f6e1a5d475上面这篇文章的重点：将矩阵A都看做线性变换（这一点在程云鹏的《矩阵论
dsbatigol·2013-09-22 20:04

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DSbatigol·2013-09-22 20:00

奇异值分解在机器视觉中的应用

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇
不系之舟913·2013-08-19 11:14

线性代数(二) ： 矩阵与矩阵运算

英国数学家凯莱是矩阵论的创立人。1矩阵通常矩阵在数学上的定义比较简单：一個m×n的矩陣是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。矩陣里
xxingjjing·2013-07-05 18:00

关于SVD

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的
denghp83·2013-06-23 06:20

机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用

而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的
lucky_greenegg·2013-06-12 20:00

代数笔记

三次方程1：伽罗瓦理论1：代数1： 代数曲线和伽罗瓦理论： 理想论和伽罗瓦理论： 理想论和二次互反律： 二次互反律1：二次互反律2： Lie群和代数群： 矩阵论1： Lie群： Lie群和拓扑： 代数和拓扑
u010401391·2013-05-31 23:00

矩阵论学习笔记四：矩阵分解

参考书：《矩阵论》第3版，程云鹏张凯院徐仲编著西北工业大学出版社矩阵的三角分解和QR分解等在计算数学中都扮演着十分重要的角色，尤其是以QR分解所建立的QR方法，以对数值线性代数理论的近代发展起了关键作用
zhang22huan·2013-03-20 20:00
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