高等代数

【算法】递归算法之n阶矩阵行列式求解

最近高等代数正好讲到这里，此篇文章正好对所学知识做一个具体程序实践。
FrancisSoung·2016-03-31 00:00

数学中几种常用的距离

数学中有很多不同种类的距离，常用于几何、高等代数等数学研究。多种多样的距离在数学建模、计算机学习中有着不小的应用。比如，A*搜索时的评估函数。
u013007900·2016-03-24 11:00

[杂记]国内某知名电商数据研发面试题

什么数学分析高等代数忘记说了，囧囧囧）。(3)你有用过什么开源的大数据工具吗？用过，用过Had
u010536377·2016-03-15 09:00

矩阵相乘优化算法实现讲解

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。并且在ACM竞赛，有很多涉及到矩阵知识的题。许多算法都会结合矩阵来处理，而比较具有代表性的矩阵算法有：矩阵快速幂、高斯消元等等。
thudaliangrx·2016-03-07 15:00

Maple计算积分的基本操作讲解

微分与积分是高等代数中的重要组成部分，占了高等数学中的半壁江山。而微分前面已经有所介绍，下面介绍利用Maple计算积分的一些基本操作。
学术研究软件·2016-02-23 16:00

wc2016总结

前几天讲课，被各种小学微积分和初中高等代数虐，简直naive。只好自己做做bzoj，想着练练模板之类的东西。考试当天自觉状态不错，翻开试题感觉各种神奇(这难道是串好的？)
wzj_is_a_juruo·2016-02-02 13:00

欢迎购买复旦大学高等代数教材（第三版）和高等代数学习指导书（第三版）

一、复旦大学高等代数教材（第三版）：普通高等教育“十二五”国家级规划教材亚马逊：购买网址 当当：购买网址 京东：购买网址 二、复旦大学高等代数学习指导书（第三版）：学生称之为“白皮书”亚马逊：购买网址 
torsor·2016-02-02 12:00

复旦大学第三版高等代数指导书笔记

P342-343,计算特征值为0的Jordan块\(J\)的幂\(J^m\)的标准型,似乎采用计算轨道的方法更简洁.从学生的角度,耐心阅读分析很多数学公式是很难的,所以直观的方法更容易接受.
老有才·2016-02-01 17:00

复旦大学2015--2016学年第一学期（15级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、(本题10分) 设$A,B,C$分别为$m\timesn$,$p\timesq$和$m\timesq$矩阵,证明:$r\begin{pmatrix}A&C\\0&B\\\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$成立当且仅当矩阵方程$AX+YB=C$有解,其中$X,Y$分别为$n\timesq$和$m\timesp$未知矩阵.分析 本题是新白皮书中例3.60上(下)三角分块矩阵秩的不等式其
torsor·2016-01-28 17:00

复旦大学2014--2015学年第二学期（14级）高等代数II期末考试第八大题解答

八、(本题10分) 设$A,B$为$n$阶半正定实对称阵,求证:$AB$可对角化.分析 证明分成两个步骤:第一步,将$A,B$中的某一个简化为合同标准形来考虑问题,这是矩阵理论中常见的技巧;第二步,利用半正定阵的三个重要性质(参考新白皮书的例8.43、例8.44和例8.45)来构造合适的相似变换.以下两种证法分别利用了半正定阵的第一个和第三个重要性质,其难易度大致相当,但第三个性质显然更强有力一些
torsor·2016-01-28 10:00

复旦大学2014--2015学年第二学期（14级）高等代数II期末考试第七大题解答

七、(本题10分)设$A,B$为$n$阶方阵,满足$AB=BA=0$,$r(A)=r(A^2)$,求证:$$r(A+B)=r(A)+r(B).$$分析 这是一道陈题,出现在各种高代教材或考研试题中.这道题目至少有三种证法,第一种方法利用分块初等变换,这需要对矩阵秩的证明技巧十分熟悉才能想到;第二种方法利用线性变换理论,只要对几何概念和相关技巧掌握熟练,并不是高不可攀的证明;第三种证法利用Jorda
torsor·2016-01-27 17:00

利用Maple计算积分操作方法

微分与积分是高等代数中的重要组成部分，占了高等数学中的半壁江山。而微分前面已经有所介绍，下面介绍利用Maple计算积分的一些基本操作。
学术研究软件·2016-01-27 15:00

复旦大学2015--2016学年第一学期（15级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、(本题10分) 设$V$为数域$K$上的$n$维线性空间,$\varphi$为$V$上的线性变换.子空间$C(\varphi,\alpha)=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)$称为$\varphi$关于$V$中向量$\alpha$的循环子空间.若非零多项式$f(x)\inK[x]$满足$f(\varphi)(\alpha)=0
torsor·2016-01-19 16:00

复旦大学2015--2016学年第一学期高等代数I期末考试情况分析

一、期末考试成绩班级前几名胡晓波(93)、宋沛颖(92)、张舒帆(91)、姚人天(90)、曾奕博(90)、杨彦婷(90)、白睿(88)、唐指朝(87)、谢灵尧(87)、蔡雪(87)二、总成绩计算方法平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业13次，10次以上（包括10次）100分，少一次扣10分。总成绩=平时成绩*20%+期中考试成绩*20%+期末考试成绩*60%三、最终成绩及其人数成绩人数A3
torsor·2016-01-12 12:00

中国科学院大学2016年高等代数考研试题

来自陶哲轩小弟. 1.计算行列式$$\bexD=\sevm{\frac{1}{a_1+b_1}&\frac{1}{a_1+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_1+b_n}\\\frac{1}{a_2+b_1}&\frac{1}{a_2+b_2}&\cdots&\frac{1}{a_2+b_n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{1}{a_n+b_1}
张祖锦·2015-12-29 16:00

北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题

本文来自TangSong. 1.$(10')$在$\bbR^3$上定义线性变换$\scrA,\\scrA$在自然基\[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right),\varepsilon_3=\le
张祖锦·2015-12-29 16:00

复旦高等代数 I（15级）思考题

1、证明:第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合.特别地,第三类分块初等变换不改变行列式的值.2、设$n\,(n\geq2)$阶方阵$A=(a_{ij}(x))$,其中每个元素$a_{ij}(x)$都是关于未定元$x$的多项式.若$k$是正整数,满足$x^k$整除$A$的所有代数余子式$A_{ij}$,证明:$x^{k+1}$整除$A$的行列式$|A|$.提示  考虑$A$的伴随矩阵$A^
torsor·2015-11-15 12:00

LA 小、杂、乱题合辑

$(来自丘维声『高等代数』(上)$P_{189,194}$) $(1).$ 设$A,B$分别是数域${\mathbb F}$上$n\times n,m\times n$矩阵.
·2015-11-11 04:29

就这么漂到北京

我高估了自己的耐心和定力，在大四选了数学学院的概率统计（好像还有高等代数），以为“终于能够安心学点东西了”。但四年积养成的怡惰懒散，岂是一时所能扭转的？
·2015-11-08 13:56

复旦大学《高等代数学（第三版）》教材勘误表

如果您发现复旦大学《高等代数学（第三版）》教材的错误或不当之处，请发邮件给谢启鸿qhxie[at]fudan.edu.cn。欢迎大家多多指正！本勘误表将不定期更新，敬请读者留意。
torsor·2015-11-06 19:00

复旦大学《高等代数学习指导书（第三版）》勘误表

如果您发现复旦大学《高等代数学习指导书（第三版）》的错误或不当之处，请发邮件给谢启鸿qhxie[at]fudan.edu.cn。欢迎大家多多指正！本勘误表将不定期更新，敬请读者留意。
torsor·2015-11-01 17:00

高等代数教材及学习指导书的推荐

一、复旦现版高等代数教材（绿皮书，姚慕生、吴泉水编著，第二版）以及学习指导书（白皮书，姚慕生编著，第二版）：这两本是复旦数学学院一年级新生学习高等代数必备的书籍，其重要性就不再讲了。
·2015-11-01 13:53

如何学好高等代数

高等代数和数学分析、空间解析几何一起，并称为数学系本科生的三大基础课。所谓基础课，顾名思义，就是本科四年学习的所有数学课程，都是以上述三门课作为基础的。
·2015-11-01 13:53

[问题2014A13] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十五教学周）

[问题2014A13]  设 \(V\) 是数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的幂零线性变换且满足 \(\mathrm{r}(\varphi)=n-1\), 求证: \(V\) 是关于线性变换 \(\varphi\) 的循环空间, 即存在向量 \(\alpha\in V\), 使得 \[V=L(\alpha,\varphi(\al
·2015-10-31 09:51

[问题2014A04] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第六教学周）

[问题2014A04]  设 \(A,B,C,D\) 均为 \(n\) 阶方阵. (1) 若 \(A^2=A\), \(B^2=B\), \((A+B)^2=A+B\), 证明: \(AB=BA=0\). (2) 若存在正整数 \(k\), 使得 \((AB)^k=0\), 证明: \(I_n-BA\) 是可逆阵. (3) 若 \(A,D\) 和 \(D-CA^{-1}B\) 均为
·2015-10-31 09:50

[问题2014A07] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第九教学周）

[问题2014A07]  设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 维列向量, 满足: \[ A\alpha_1=\alpha_2,\,\,A\alpha_2=\alpha_3,\,\,A\alpha_3=\alpha_4,\,\
·2015-10-31 09:50

[问题2014A05] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第七教学周）

[问题2014A05]  (1) 设 \(x_1,x_2\cdots,x_n,x\) 都是未定元, \(s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k\,(k\geq 1)\), \(s_0=n\), 试求下列行列式的值: \[|A|=\begin{vmatrix} s_0 & s_1 & \cdots & s_{n-1} & 1 \\ s_1
·2015-10-31 09:50

[问题2014A08] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十教学周）

[问题2014A08]  设 \(A=(a_{ij})\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶方阵, 定义函数 \[f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.\] 设 \(P\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 满足: 对任意的 \(A\in M_n(\mathbb{K})\), 成立 \[f(PAP^{
·2015-10-31 09:50

[问题2014A01] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第三教学周）

[问题2014A01]  试求下列 \(n\) 阶行列式的值: \[ |A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ 1 & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{
·2015-10-31 09:49

[问题2014A02] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第四教学周）

[问题2014A02]  求下列 \(n\) 阶行列式的值, 其中 \(a_i\neq 0\,(i=1,2,\cdots,n)\): \[ |A|=\begin{vmatrix} 0 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_{n-1} & a_1+a_n \\ a_2+a_1 & 0 & \cdots &
·2015-10-31 09:49

[问题2014A03] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第五教学周）

[问题2014A03]  设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\,(n\geq 3)\) 阶方阵，\(A_{ij}\) 为第 \((i,j)\) 元素 \(a_{ij}\) 在 \(|A|\) 中的代数余子式，证明: \[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{23} & \cdots & A_{2n} \\ A_{32} & A
·2015-10-31 09:49

[问题2014S12] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十二教学周）

  [公告]  关于本学期复旦高等代数II（13级）每周一题，新题的公布到第十五教学周为止（即本学期一共公布 15 道思考题
·2015-10-31 09:48

[问题2014S15] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十五教学周）

[问题2014S15]  设 \(O\) 为 \(n\) 阶正交阵，\(A=\mathrm{diag}\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\) 为实对角阵, 证明: 方阵 \(OA\) 的特征值 \(\lambda_j\) 适合不等式: \[ m\leq |\lambda_j|\leq M,\,\,1\leq j\leq n, \] 其中 \[m=\min_{
·2015-10-31 09:48

[问题2014S10] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十教学周）

[问题2014S10]  设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵, 证明: \(AB\) 与 \(BA\) 相似的充分必要条件是 \[\mathrm{rank}\big((AB)^i\big)=\mathrm{rank}\big((BA)^i\big),\, i=1,2,\cdots,n-1.\] 注  (1) 本题是复旦高代教材 P172 习题 6 的推广, 即若 \(
·2015-10-31 09:48

[问题2014S13] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第十三教学周）

[问题2014S13]  (1)  设 \(A\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 若存在主对角元全为 \(1\) 的下三角阵 \(L\in M_n(\mathbb{K})\) 以及上三角阵 \(U\in M_n(\mathbb{K})\) 使得 \(A=LU\), 则称方阵 \(A\) 存在 \(LU\) 分解 (\(L\) 表示下三角,
·2015-10-31 09:48

[问题2014S05] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第五教学周）

[问题2014S05]  设 \(A,B\) 分别是 \(4\times 3\) 和 \(3\times 4\) 实矩阵, \[ BA=\begin{pmatrix}-9 & -20 & -35 \\2 & 5 & 7 \\2 & 4 & 8\end{pmatrix},\,AB=\begin{pmatrix}9a-14 & 0 &a
·2015-10-31 09:47

[问题2014S06] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第六教学周）

[问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题： 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为
·2015-10-31 09:47

[问题2014S07] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第七教学周）

[问题2014S07]  设 \(A\in M_n(\mathbb{K})\) 在数域 \(\mathbb{K}\) 上的初等因子组为 \(P_1(\lambda)^{e_1},P_2(\lambda)^{e_2},\cdots,P_k(\lambda)^{e_k}\), 其中 \(P_i(\lambda)\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多
·2015-10-31 09:47

[问题2014S08] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第八教学周）

[问题2014S08]  设分块上三角阵 \[A=\begin{bmatrix} A_1 & B \\ 0 & A_2 \end{bmatrix},\] 其中 \(m\) 阶方阵 \(A_1\) 的 Jordan 标准型为 \(J_1\), \(n\) 阶方阵 \(A_2\) 的 Jordan 标准型为 \(J_2\), 并且 \(A_1,A_2\) 没有公共的特征值.
·2015-10-31 09:47

[问题2014S09] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第九教学周）

[问题2014S09]  证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{diag}\{ J_{r_1}(1),\cdots,J_{r_k}(1),0,\cdots,0 \}.\] 特别地, 非异阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似
·2015-10-31 09:47

复旦大学2013--2014学年第一学期（13级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、（本题10分）设 \(A\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵 \(B\in M_n(K)\),  \(A^{-1}BA\) 均为对角阵的充分必要条件是 \(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中 \(P_i\) 均为第一类初等阵 (即对换 \(I_n\) 的某两行) 或第二
·2015-10-31 09:46

[问题2014S02] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第二教学周）

问题2014S02  设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \end{eqnarray*} 其中 \(a_nb_m\neq 0\
·2015-10-31 09:46

复旦大学2013--2014学年第一学期（13级）高等代数I期末考试第八大题解答

八、（本题10分）设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线性变换, 且存在非零向量 \(\alpha\in V\) 使得 \(V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)\). (1) 证明: \(\{
·2015-10-31 09:46

[问题2014S01] 复旦高等代数II（13级）每周一题（第一教学周）

问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 达到最大值或最小值的点的集合, 即 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x
·2015-10-31 09:46

作为一个程序员，数学对你到底有多重要

　　每个计算机系毕业的人，大都学过不少数学课，而且不少学校的计算机系的数学课，通常比一般的其他工科专业的数学要难一些，比如不上高等数学，而是学数学分析，不上线性代数而去上高等代数。
·2015-10-30 14:33

[问题2015S05] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第六教学周）

[问题2015S05]  设 \(A\) 是 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\) 可对角化的充分必要条件是 \(A\) 相似于某个如下的循环矩阵: \[C=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n
·2015-10-30 13:28

[问题2015S04] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第五教学周）

[问题2015S04] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, \(C\) 为 \(k\times n\) 矩阵, 且对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}A-\lambda I_n\\ C \end{pmatrix}\) 均为列满秩阵. 证明: 对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatri
·2015-10-30 13:28

[问题2015S01] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第二教学周）

[问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, 使得对于给定的 \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\), 或者 \(\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)\) 成立, 或者 \(\var
·2015-10-30 13:27

复旦大学2014--2015学年第一学期高等代数I期末考试情况分析

一、期末考试成绩班级前几名 金羽佳(92)、包振航(91)、陈品翰(91)、孙浩然(90)、李卓凡(85)、张钧瑞(84)、郭昱君(84)、董麒麟(84)、张诚纯(84)、叶瑜(84) 二、总成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定，本学期共交作业12次，10次以上（包括10次）100分，少一次扣10分。 总成绩=平时成绩*20%+期中考试成绩*20%+期末考试成绩*60% 三、最终成
·2015-10-30 13:27

[问题2015S03] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第四教学周）

[问题2015S03]  设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的多项式, \(V\) 是 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换, \(\alpha_1\neq 0,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)
·2015-10-30 13:27
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