【集训Day1 测试】选择课题

选择课题(bestproject)
【问题描述】
Robin 要在下个月交给老师 n 篇论文,论文的内容可以从 m 个课题中选择。由于课题数有限,Robin 不得不重复选择一些课题。完成不同课题的论文所花的时间不同。具体地说,对于某个课题 i,若 Robin 计划一共写 x 篇论文,则完成该课题的论文总共需要花费 Ai*x^Bi 个单位时间(系数 Ai 和指数 Bi 均为正整数)。给定与每一个课题相对应的 Ai 和 Bi 的值,请帮助 Robin 计算出如何选择论文的课题使得他可以花费最少的时间完成这 n 篇论文。
【输入格式】
第一行有两个用空格隔开的正整数 n 和 m,分别代表需要完成的论文数和可供选择的课题数。
以下 m 行每行有两个用空格隔开的正整数。其中,第 i 行的两个数分别代表与第 i 个课题相对应的时间系数 Ai 和指数 Bi。
【输出格式】
输出完成 n 篇论文所需要耗费的最少时间。
【输入样例】
10 3
2 1
1 2
2 1
【输出样例】
19
【样例说明】
4 篇论文选择课题一,5 篇论文选择课题三,剩下一篇论文选择课题二,总耗时为 2*4^1+1*1^2+2*5^1=8+1+10=19。可以证明,不存在更优的方案使耗时小于 19。
【数据规模】
对于 40%的数据,n<=10,m<=5;
对于 100%的数据,n<=200,m<=20,Ai<=100,Bi<=5。
【解题思路】
本题属于动态规划中的完全背包问题。·根据动态规划的思想推导状态转移方程,令dp[m][n]表示前m个课题写n篇论文的最优解,以课题为阶段,即为完全背包中以物品为阶段。
然后进行推导,在dp[m][n]之前做了什么,无非就是选择第m个课题写k(0<=k<=n)篇论文。
那么根据这样的推导,状态转移方程就是:dp[m][n]=min(dp[m][n],dp[m-1][n-k]+a[m]*k^b[m]。
数据量不大,完全可以直接dp,无须优化。
【解题反思】

  • 对于经典的模板题应该要十分熟悉
  • 由于结果可能很大,建议使用long long
  • 注意数组的范围

【参考程序】

#include
#include
using namespace std;
const long long maxint=1000000000000000;
int n,m,a[21],b[21];
long long f[21][201],ans;
long long power(int x,int y)//求x的y次幂
{
    long long sum=1;
    for (int i=1;i<=y;i++) sum*=x;
    return sum;
}
int main()
{
    freopen("bestproject.in","r",stdin);
    freopen("bestproject.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]>>b[i];
    for (int i=0;i<=m;i++)
    for (int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=maxint;
//初始化为无穷大 
        for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            for (int k=0;k<=j;k++)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-k]+a[i]*power(k,b[i]));//状态转移方程
    cout<return 0;
}

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