学习笔记---高等数学前置知识---约分、通分

约分

定理：分子分母同时乘/除一个非零数之后，分式的值不变。

例：

ab/(a^2b-ab^2)

=ab/(ab(a-b))

=1/(a-b)

注：

在进行约分之前，应优先对分子和分母进行因式分解。

通分

定理：同分母的分式相加/减，则分母不变分子相加/减

例：

a/2b+b/3a^2+c/4ab

=(6a^3)/((12a^2)b)+(4b^2)/((12a^2)b)+(4ac)/((12a^2)b)

=(6a^3+4b^2+4ac)/((12a^2)b)

注：

1.通分即将异分母的分式转换为同分母分式，对于有未知数的分式进行通分。应取各分母的系数的最小公倍数作为最终分母的系数部分，取各未知数的最高次幂作为最终分母的未知数部分。如以上例题中得出的12(a^2)b

2.在通分之前，应先对每个分母进行因式分解。

例题：

1.

9y/27x

=y/3x

2.

1/(x^2-4x+4)+1/(4-x^2)

=1/(x-2)^2-1/((x-2)(x+2))

=(x+2)/((x-2)^2)(x+2)-(x-2)/((x-2)^2)(x+2)

=4/((x-2)^2)(x+2)

3.

1/(a-b)(a-c)+1/(b-c)(b-a)+1/(c-a)(c-b)

=(b-c)/(a-b)(a-c)(b-c)-(a-c)/(a-b)(a-c)(b-c)+(a-b)/(a-b)(a-c)(b-c)

=0/(a-b)(a-c)(b-c)

=0

分式化简

概述：结合以上的知识，对分式进行最简化

例：

(1/a+1/b)/(1/a-1/b)

=((1/a+1/b)*ab)/((1/a-1/b)*ab)

=(b+a)/(b-a)

或

=(b/ab+a/ab)/(b/ab-a/ab)

=((b+a)/ab)/((b-a)/ab)

=((b+a)/ab)*(ab/(b-a))

=(b+a)/(b-a)

注：

对于此类分子分母中存在分式的分式进行化简有两种方法：

1.将原分式的分子乘上分子中的分式的公分母，将原分式的分母乘上分母中的分式的公分母。如以上例题的第一种解法。

2.将原分式的分子、分母中的分式都分别进行通分。随后将分母取倒数乘上原分式的分子。如以上例题的第二种解法。

例题：

1.

(1/(1-x)-1/(1+x))/(1/(1-x)+1/(1+x))

=((1/(1-x)-1/(1+x))(1-x)(1+x))/((1/(1-x)+1/(1+x))(1-x)(1+x))

=((1+x)-(1-x))/((1+x)+(1-x))

=2x/2

=x