乘法逆元

放在前面的内容：我们知道在mod p 意义下的加减乘法运算都不会影响mod之后的值(就是说运算结果封闭在mod p的剩余系里)，但是除法会，所以我们就引入了一个新的东西叫做逆元，用来算mod p意义下的除法

逆元定义：若a*x ≡ 1 (mod p)，那么我们说x是a在mod p意义下的逆元，记为x=a^(-1)，当且仅当a,p互质时，x存在

情况1：p为质数，显然当a不为p的倍数时，两数互质，那么由费马小定理可得，a^(p-1)%p=1,那么此时a的逆元就等于a^(p-1)/a=a^(p-2)

情况2：a,p为任意整数且互质，那么由欧拉定理可得a^φ(p) ≡ 1 (mod p),那么此时a的逆元就等于a^φ(p)/a=a^(φ(p)-1)

求法1：对于情况1直接用费马小定理即可得到

求法2：对于情况2直接用欧拉函数筛φ(p)即可得到

求法3：对于所有情况，可以用扩展欧几里得来求，我们可以发现a*x ≡ 1 (mod p) 等价于a*x+p*y=1,因为a与p互质，所以GCD(a,p)=1,所以用exgcd求解，最后得到的x即为a的逆元

注：线性求逆元会在后面给出，如有错误请联系博主，谢谢