相对熵（KL散度）

今天开始来讲相对熵，我们知道信息熵反应了一个系统的有序化程度，一个系统越是有序，那么它的信息熵就越低，反

之就越高。下面是熵的定义

 

如果一个随机变量的可能取值为，对应的概率为，则随机变

量的熵定义为

 

            

 

有了信息熵的定义，接下来开始学习相对熵。

 

Contents

 

   1. 相对熵的认识

   2. 相对熵的性质

   3. 相对熵的应用

 

 

1. 相对熵的认识

 

   相对熵又称互熵，交叉熵，鉴别信息，Kullback熵，Kullback-Leible散度（即KL散度）等。设和

   是取值的两个概率概率分布，则对的相对熵为

 

              

 

   在一定程度上，熵可以度量两个随机变量的距离。KL散度是两个概率分布P和Q差别的非对称性的度量。KL散度是

   用来度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况下，P表示数据的真实分布，Q

   表示数据的理论分布，模型分布，或P的近似分布。

 

 

2. 相对熵的性质

 

   相对熵（KL散度）有两个主要的性质。如下

 

   （1）尽管KL散度从直观上是个度量或距离函数，但它并不是一个真正的度量或者距离，因为它不具有对称性，即

 

       

 

   （2）相对熵的值为非负值，即

 

       

 

       在证明之前，需要认识一个重要的不等式，叫做吉布斯不等式。内容如下

 

       

 

 

3. 相对熵的应用

 

   相对熵可以衡量两个随机分布之间的距离，当两个随机分布相同时，它们的相对熵为零，当两个随机分布的差别增

   大时，它们的相对熵也会增大。所以相对熵（KL散度）可以用于比较文本的相似度，先统计出词的频率，然后计算

   KL散度就行了。另外，在多指标系统评估中，指标权重分配是一个重点和难点，通过相对熵可以处理。

 

   在Julia中，有一个KLDivergence包，用来计算两个分布之间的K-L距离，它需要依赖Distributions包，用

   法详见：https://github.com/johnmyleswhite/KLDivergence.jl