数学之美（13）——从坚“整”不渝到伽利略的困惑

庞加莱曾经说过：能够做出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和什么美感的人。

在数的海洋里，总有些规律令人沉迷。

坚“整”不渝

雅克布·伯努利是瑞士著名的数学家，他的主要发现有对数螺线。

对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在数学家的假想中。也许正是这神奇的形状，让苏格兰博物学家和数学家汤普森语出惊人：地球上所有动物和植物只有通过数学才能理解！

对数螺线1

向日葵中对数螺线

对数螺线在自然界中最为普遍存在，以后若去动物园可瞧仔细了：象鼻、羊角、鹦鹉的爪子等也都是成等角螺线形的。圆网蛛能织出这种曲线，许许多多贝壳动物身上都有这种曲线。鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物；昆虫以对数螺线的方式接近光源；用天文望远镜观察到的星云中也有螺线形状的！

羊角化石

难怪法布尔会惊叹：“几何，以及面积上的和谐，支配着一切。几何存在于松果鳞片的布置中，也存在与圆网蛛的黏胶丝上；蜗牛的螺旋上升斜线里有几何，蜘蛛网的念珠里有几何，行星轨道里也有几何；几何到处存在，不管在原子世界里还是在无限辽阔的宇宙中，几何都是非常高明的！”

伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

除了这些不变之外，伯努利还发现了一个不变的规律。伯努利对自然数乘方和的公式应用十分自如，在研究过程中，他曾经发现下面的问题：

无论n为何自然数，式子

纵使改变，依然故我

总是整数！

伽利略的苦恼

在我们的印象中，数学家们都是无所不能的，他们睿智、冷静又富有逻辑性，好像没有瑕疵。

可是每个人都会有苦恼，伽利略就是其中一位。

我们知道，完全平方数在自然数中是沧海之一粟，我们看下面的对应关系

1， 2， 3， 4， 5……n

1， 4， 9， 16， 25， n^2

上面的对应关系又表示自然数与完全平方数是一一对应的，是一样多的。这就是伽利略的困惑，他提出了前人没有提出过的比较无穷大小的问题，揭开了人们认识“无穷”的序幕。

关于“无穷”我们下次再详细谈它，欢迎留言交流~~