[计算几何][凸包][旋转卡壳] 最远距离点对

题目描述

给定平面上的n个点，找出它们之间最远的点对。

输入格式

多组数据，每组第一行n代表点数，接着n行为点的坐标，坐标为整数，不超过10^18范围。n<=30000。

输出格式

每组一行，最远点对的距离，保留2位小数

样例数据

样例输入

4
0 0
1 1
0 1
1 0

样例输出

1.41

题目分析

最远点对必在凸包上，可用反证法证明。
于是就有O(n^2)算法，枚举凸包上的点统计最远距离。
然而n^2过不了此题，想一想，其实我们做了一些无用功。
对于结点a、b，当a向后移动1位时，b点要得到最优解，只可能不动，或向后移动若干位，所以没有必要每次枚举a重新枚举b，将b旋转着走就行了。
这就是旋转卡壳，均摊时间复杂度位O(n)

源代码

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
inline const int Get_Int() {
    int num=0,bj=1;
    char x=getchar();
    while(x<'0'||x>'9') {
        if(x=='-')bj=-1;
        x=getchar();
    }
    while(x>='0'&&x<='9') {
        num=num*10+x-'0';
        x=getchar();
    }
    return num*bj;
}
const double eps=1e-10;
int DoubleCompare(double x) { //精度三出口判断与0关系
    if(fabs(x)return 0; //=0
    else if(x<0)return -1; //<0
    else return 1; //>0
}
struct Point {
    double x,y;
    bool operator < (Point b) const {
        return xdouble Dist(Point a,Point b) {
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
struct Vector {
    double x,y;
};
Vector operator - (Point a,Point b) {
    Vector c;
    c.x=b.x-a.x;
    c.y=b.y-a.y;
    return c;
}
double Cross(Vector a,Vector b) { //叉积
    return a.x*b.y-b.x*a.y;
}
double Area(Point a,Point b,Point c) { //三点的平行四边形有向面积
    Vector u=b-a;
    Vector v=c-a;
    return Cross(u,v);
}
double Area(int n,Point* P) { //计算多边形有向面积（剖分法） 
    double ans=0;
    for(int i=2; i1],P[i],P[i+1]);
    return ans/2;
}
int ConvexHull(int n,Point* p,Point* ans) { //Andrew算法求凸包（求上链与下链）：p是点数组，ch是凸包顶点，返回顶点数 
    //输入不能有重复点，若要凸包边上没有输入点，将两个<=改为<
    sort(p+1,p+n+1);
    int top=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        while(top>1&&DoubleCompare(Cross(ans[top-1]-ans[top-2],p[i]-ans[top-2]))<=0)top--;
        ans[top++]=p[i];
    }
    int k=top;
    for(int i=n-1; i>=1; i--) {
        while(top>k&&DoubleCompare(Cross(ans[top-1]-ans[top-2],p[i]-ans[top-2]))<=0)top--;
        ans[top++]=p[i];
    }
    if(n>1)top--;
    return top;
}
double Rotating_Calipers(int n,Point* p) { //旋转卡壳求最远点对距离 
    int b=2; //旋转顶点b 
    double ans=0;
    p[n+1]=p[1];
    for(int a=1; a<=n; a++) { //旋转顶点a 
        while(abs(Area(p[a],p[a+1],p[b]))<abs(Area(p[a],p[a+1],p[b+1])))b=(b+1)%n;
        ans=max(ans,max(Dist(p[a],p[b]),Dist(p[a+1],p[b])));
    }
    return ans;
}
//////////////
Point a[30005],b[30005];
int n;
int main() {
    n=Get_Int();
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        a[i].x=Get_Int();
        a[i].y=Get_Int();
    }
    int cnt=ConvexHull(n,a,b);
    printf("%0.2lf\n",Rotating_Calipers(cnt,b));
    return 0;
}