深度学习入门笔记（三）：求导和计算图

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深度学习入门笔记（三）：求导和计算图

0、写在前面

这一次主要是想对微积分和导数直观理解一下。很多人在想或许自从大学毕以后，再也没有接触微积分。不要担心，为了高效应用神经网络和深度学习，其实 并不需要非常深入理解微积分。

如果你是精通微积分的那一小部分人群，对微积分非常熟悉，可以跳过这个笔记。

1、导数

导数，也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念，但是其实理解起来并没有那么难。来看一个例子：

一个函数 $f(a)=3a$，如图可以看出它是一条直线，这个别说你不会，xD。那么什么是导数，简单理解一下：

看看函数中几个点，假定 $a=2$，那么 $f(a)=3a$ 是 $a$ 的 3 倍，也就是 3 * 2 = 6，即若 $a=2$，那么函数 $f(a)=6$，第一个点就是$（a，f(a)）=（2，6）$。

如果假定稍微改变一点点 $a$ 的值，只增加一点，变为 2.001（只增加了 0.001），这时 $a$ 将向右做微小的移动。0.001 的差别实在是太小了，$10^{-3}$ 数量级的移动，不能在图中很明显地看出来，这里稍稍夸张了一下，意思到位就ok。现在 $f(a)=3a$ 等于 $a$ 的 3 倍是 2.001 * 3 = 6.003。

请看这个绿色小清新的三角形！！！根据刚才的结果，如果向右移动 0.001，那么 $f(a)$ 增加 6.003 - 6 = 0.003，$f(a)$ 的值增加 3 倍于右移的 $a$，0.003 / 0.001 = 3，因此我们说函数 $f(a)$ 在 $a=2$点的导数就是在这个点的斜率，而这个点的斜率是 3，那么斜率是什么？

已知一个图如上，斜率 K 计算公式如下：

导数这个概念意味着斜率！！！导数 这个词，听起来就是一个很可怕、很令人惊恐的词，但是 斜率 以一种很友好的方式来描述导数这个概念。所以提到导数，不严格的说，就把它当作函数的斜率就好了。通过一个例子来体会一下斜率的定义，在上图的绿色三角形中，用三角形的高除以三角形的宽，即斜率等于 0.003 / 0.001 = 3，等于3，或者说导数等于 3。这意味着什么呢？这意味着当你将 $a$ 右移 0.001时，$f(a)$ 的值增加 3 倍水平方向的量。

如果换个数呢？现在假设 $a=5$ 也是一样的，此时 $f(a)=3a=15$。把 $a$ 右移一个很小的幅度，增加到 5.001，根据 $f(a)=3a$ 可以得到 3 * 5.001 = 15.003。即在 $a=5$ 时，斜率是 3。这就表示，当变量 $a$ 的值发生微小改变时，$\frac{df(a)}{da}=3$。一个等价的导数表达式还可以这样写 $\frac{d}{da}f(a)$ ，即 $f(a)$ 放在上面或者放在右边都没有关系，是一样的。

那就是导数的正式定义！！！数学上导数用 $f^{\prime }(a)=\frac{df(a)}{da}$ 表示。

导数的一个特性是：这个例子中的这个函数在任何地方的斜率总是等于 3，不管 $a=2$ 或 $a=5$，这个函数的斜率总等于3，也就是说导数总等于 3。那么所有的函数斜率都是不变的嘛？当然不是，下面这个例子中函数在不同点的斜率是可变的。

2、深入理解导数

下面来看一个更加复杂的例子，有多复杂？在这个例子中，函数在不同点处的斜率是不一样的，别慌，先来举个例子：

这里有一个不一样的函数，$f(a)={\text{a}}^{\text{2}}$，直观上看，是个曲线，眉头一皱，感觉事情不太对劲。现在如果假设 $a=\text{2}$ 的话，那么 $f(a)={\text{a}}^{\text{2}}$ 可以得到 $f(2)=2^2=4$。还是稍稍往右推进一点点，现在 $a=\text{2}.\text{001}$，则 $f(a)\approx 4.004$ (为什么要约等于？如果你用计算器算的话，就会发现这个准确的值应该为4.004001，只是为了简便起见，省略了后面的部分)。

还是画图的方法进行理解，得到一个小三角形，如果细心的话你就会发现，这次严格意义上并不是三角形。如果把 $a$ 往右移动 0.001，那么 $f(a)$ 将增大四倍，即增大 4.004 - 4 = 0.004，而 0.004 / 0.001 = 4。

在微积分中，把这个三角形斜边的斜率，称为 $f(a)$ 在点 $a=\text{2}$ 处的导数(即为 4 )；或者写成微积分的正式定义形式，当 $a=\text{2}$ 的时候， $\frac{d}{da}f(a)=4$。由此可知，函数 $f(a)=a^2$，在 $a$ 取不同值的时候，它的斜率是不同的，这和上面的例子显然是不同的。

如果你还是不太理解的话，这里有种直观的方法可以解释，就是画图法。为什么一个点的斜率，在不同位置会不同如果？我们可以在曲线上的不同位置，画一些小小的三角形你就会发现，三角形高和宽的比值，即斜率，在曲线上不同的地方是不同的。所以当 $a=2$ 时，斜率为 4；而当 $a=5$ 时，斜率为 10。

如果严谨地说，可以百度导数表。你会发现，函数 $f(a)=a^2$ 的斜率（即导数）为 $2a$，而函数 $f(a)=3a$ 的斜率（即导数）为3。

这意味着什么？这么说，如果任意给定一点 $a$，稍微将 $a$ 增大 0.001，两个函数增大的完全不一样。一个是和 $a$ 有关的，而另一个则是常数。

来小结一下：

1. 导数就是斜率，而函数的斜率在不同的点可能是不同的。在 $f(a)=\text{3}a$ 时，在任何点它的斜率都是相同的，均为3。但对 $f(a)={\text{a}}^{\text{2}}$，斜率是变化的，所以它们的导数或者斜率，在曲线上不同的点处是不同的。

2. 如果想知道一个函数的导数，可参考导数表，然后应该就能找到这些函数的导数公式，直接带数就完事了。

3、计算图

一个神经网络的计算大体上可以看成是，前向或反向传播组合而成的。只有公式描述，确实有一些晦涩，这个时候我们想到了计算图。计算图是什么？

计算图是一种描述方程的语言，既然是图，则有 节点（变量） 和 边（操作）。

这么说太官方了，来举一个比逻辑回归更加简单的，或者说不那么正式的神经网络的例子。

我们的目的是计算函数 $J$，函数 $J$ 的组成是什么呢？是由三个变量 $a,b,c$ 组成的函数，这个函数是 $\text{3(a}+\text{bc)}$ 。计算这个函数实际上有三个不同的步骤，也就是拆分一下，用复合函数的思想去理解。

首先是计算 $b$ 乘以 $c$，用一个函数 $u=bc$ 来表示；然后计算另一个函数 $v=a+u$；最后输出 $J=3v$，这就是要计算的函数 $J$。这三步可以画成如下的计算图：
先画三个变量 $a,b,c$，第一步就是计算 $u=bc$，放个矩形框，它的输入是 $b,c$；接着还是放个矩形框，进行第二步 $v=a+u$；最后一步还是个矩形框，进行 $J=3v$。

举个例子：$a=5,b=3,c=2$ ，$u=bc$ 就是 3 * 2 = 6；而 $v=a+u$，就是 5+6=11；$J$ 是 3 倍的 $v$ ，因此，$J$ = 3 × (5 + 3 × 2)。如果把它算出来，就得到33，实际上就是 $J$ 的值。

计算图的一个大优势是：当有不同的或者一些特殊的输出变量时，例如上面例子中的 $J$ 和逻辑回归中准备优化的代价函数 $J$，用计算图来处理会很方便。从这个小例子中可以看出，通过一个从左向右（蓝色箭头）的过程，可以计算出 $J$ 的值。而为了计算导数，从右到左（红色箭头，和蓝色箭头的过程相反）的过程是用于计算导数最自然、最直观的方式。

4、使用计算图求导数

如何利用计算图来计算函数 $J$ 的导数呢？

先不急，来看个例子，下面用到的公式：

$$\frac{dJ}{du}=\frac{dJ}{dv}\frac{dv}{du}$$

$$\frac{dJ}{db}=\frac{dJ}{du}\frac{du}{db}$$

$$\frac{dJ}{da}=\frac{dJ}{du}\frac{du}{da}$$

这是一个计算图，记录了整个流程：

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假设计算 $\frac{dJ}{dv}$，那要怎么算呢？如果你会微积分的话，就好说了，直接求导数没啥好说的；那么不会的话呢，也不用着急！这么看，比如要把这个 $v$ 值拿过来，改变一下，那么 $J$ 的值会怎么变呢？（是不是用上了上面提到的导数讲解 ）

首先 $J=3v$，$v=11$，$J=33$，这是已知条件。如果让 $v$ 增加一点点，比如到11.001，那么 $J=3v=33.003$，这里 $v$ 增加了 0.001，而最终结果是 $J$ 上升了 0.003，也就是原来的 3 倍，所以 $\frac{dJ}{dv}=3$。

为啥这么说？当然是因为对于任何 $v$ 的增量，$J$ 都会有 3 倍增量。所以有 $J=3v$，推出 $\frac{dJ}{dv}=3$。

吴恩达老师的手稿如下：

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看另一个例子，$\frac{dJ}{da}$ 是多少呢？换句话说，如果提高 $a$ 的值，$J$ 的数值有什么影响？

变量 $a=5$，增加到了 5.001，那么对 $v$ 的影响就是 $a+u$，之前 $v=11$，现在变成 5.001 - 5 + 11 = 11.001，$J$ 就变成11.001 * 3 = 33.003，所以 $a$ 增加 0.001，$J$ 增加 0.003。那么增加 $a$，$a$ 的改变量会传播到计算图的最右边，所以 $J$ 最后是 33.003。所以 $J$ 的增量是 3 乘以 $a$ 的增量，也就意味着导数是 3，即 $\frac{dJ}{da}=3$。

吴恩达老师的手稿如下：

要解释清楚这个计算过程，就会牵扯出链式法则，名字虽然挺厉害的，其实很简单。

首先 $a$ 增加了，$v$ 也会增加；$v$ 增加多少呢？这取决于 $\frac{dv}{da}$；然后 $v$ 的增加导致 $J$ 也会增加。所以这在微积分里实际上叫链式法则，顾名思义，互相之间被链住了，一个变化都会变化。

那么怎么计算一个链式法则的求导呢？

其实不难，前面给了三个公式，这就是答案。通过分解的方法，把整个链式法则分解为几个小的链子，分别求导再相乘，就解出正确答案了。

通过改变一个变量来看另一个变量的变化关系这种方法，我们得到了 $\frac{dJ}{dv}=3$、$\frac{dv}{da}=1$，所以 $\frac{dJ}{da}=\frac{dJ}{dv}\frac{dv}{da}=3\ast 1=3$，即为所求。

下图表示了整个计算过程：

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继续计算另一条线的导数，也就是这个 $u$，那么 $\frac{dJ}{du}$ 是多少呢？

通过和之前类似的计算，这里简单说一下。从 $u=6$ 出发，令 $u$ 增加到 6.001，$v$ 之前是 11，现在变成 6.001 - 6 + 11 = 11.001，$J$ 从 33 变成 33 * 3 = 33.003，所以 $\frac{dJ}{du}=3$。

对 $u$ 的分析很类似对 a 的分析，为啥这么说呢？实际上还是计算，$\frac{dJ}{du}=\frac{dJ}{dv}\cdot \frac{dv}{du}$，又因为有 $\frac{dJ}{dv}=3$、$\frac{dv}{du}=1$，最终算出的结果是 $3\times 1=3$，所以可以看出对 $u$ 的分析类似对 a 的分析。

吴恩达老师的手稿如下：

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现在，来看最后一个例子，那么 $\frac{dJ}{db}$ 呢？

事实上，使用微积分链式法则，这也可以写成乘积的形式，就是 $\frac{dJ}{db}=\frac{dJ}{du}\cdot \frac{du}{db}$。

当 $b$ 增加 0.001 变成 3.001 时，$u=bc$ 就变成 3.001 * 2 = 6.002，$u$ 增加了 6.002 - 6 = 0.002，也就是 $b$ 的增加量的二倍，所以 $\frac{du}{db}=2$。那么 $\frac{dJ}{du}$ 是多少呢？在前面我们已经弄清楚了，等于 3，所以这两部分相乘，可得 $\frac{dJ}{db}=6$。

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其实还有另一个例子，不过 $c$ 和 $b$ 是比较相似的。经过计算你会发现 $\frac{dJ}{dc}=\frac{dJ}{du}\cdot \frac{du}{dc}=3\times 3$，这个结果是 9。

吴恩达老师的手稿如下：

所以当计算所有这些导数时，最有效率的办法是从右到左计算，跟着这个红色箭头走，充分利用计算图的优势。特别是当第一次计算对 $v$ 的导数时，之后在计算对 $a$ 导数时，然后对 $u$ 的导数，最后是对 $b$ 和 $c$ 的导数。

到这里，计算图求导数就完事了。这是一个计算图，也是一个流程图。是不是简单了好多，尤其是对 $b$ 和 $c$ 的导数！！！

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参考文章

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