离散方法（三）——光滑粒子流体动力学(SPH)

力学问题求解的基于密度、速度和能量等变量场的偏微分方程组（PDEs），除了简单的情况，往往很难应用这些PDEs求的解析解。因此必须寻求数值解法。为此，首先必须对PDEs所定义问题域进行离散化；其次需要一种方法来获取一点上的变量函数及其导数的近似值；最后将近似函应用于PDEs来获得一系列离散化的、只与时间相关的常微分方程组（ODE）。这一系列离散化的常微分方程（ODE）可用传统的有限差分法中的任一种标准积分程序来求解。

• 若问题域不是以粒子的形式表示的，则用一系列任意分布的粒子来表示问题域。粒子之间不需要任何连接。（无网格）

• 用积分表示法来近似场函数。在SPH方法中这种方法称为核近似（kernel approximation）法。（积分函数法）（积分法具有光滑作用，即相当于弱形式方程）

• 应用粒子对来对核近似方法进一步近似。在SPH方法中这种方法称为粒子近似法。实施这种方法的过程是通过应用局部区域内的相邻粒子对的值来叠加求和取代场函数及其导数的积分表示形式。其中所取的局部区域又称为支持域.(紧支性)（用于产生带状或离散化的稀疏系统矩阵）

• 将粒子近似法应用于所有PDEs的场函数相关项中，则可得到一系列只与时间相关的离散化形式的ODEs。（拉格朗日性质）