菜鸟学算法--NP 完全问题（转载）

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情景分析

旅行商问题详解

这两条路线相同还是不同？

3个城市

多个城市

近似求解

如何识别 NP 完全问题

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情景分析

为解决集合覆盖问题，你必须计算每个可能的集合。

在旅行商问题中，旅行商需要前往5个不同的城市

他需要找出前往这5个城市的最短路径，为此，必须计算每条可能的路径。

前往5个城市时，可能的路径有多少条呢？

旅行商问题详解

我们从城市数较少的情况着手。假设只涉及两个城市，因此可供选择的路线有两条。

这两条路线相同还是不同？

你可能认为这两条路线相同，难道从旧金山到马林的距离与从马林到旧金山的距离不同吗？不一定。有些城市（如旧金山）有很多单行线，因此你无法按原路返回。你可能需要离开原路行驶一两英里才能找到上高速的匝道。因此，这两条路线不一定相同

你可能心存疑惑：在旅行商问题中，必须从特定的城市出发吗？例如，假设我是旅行商。我居住在旧金山，需要前往其他4个城市，因此我将从旧金山出发。
但有时候，不确定要从哪个城市出发。假设联邦快递将包裹从芝加哥发往湾区，包裹将通过航运发送到联邦快递在湾区的50个集散点之一，再装上经过不同配送点的卡车。该通过航运发送到哪个集散点呢？在这个例子中，起点就是未知的。因此，你需要通过计算为旅行商找出起点和最佳路线。

在这两种情况下，运行时间是相同的。但出发城市未定时更容易处理，因此这里以这种情况为例。
涉及两个城市时，可能的路线有两条。

3个城市

现在假设再增加一个城市，可能的路线有多少条呢？如果从伯克利出发，就需前往另外两个城市。

从每个城市出发时，都有两条不同的路线，因此总共有6条路线。因此涉及3个城市时，可能的路线有6条。

多个城市

涉及6个城市时，可能的路线有多少条呢？如果你说720条，那就对了。7个城市为5040条，8个城市为40 320条。
这被称为阶乘函数（factorial function），5! = 120。假设有10个城市，可能的路线有多少条呢？10! = 3 628 800。换句话说，涉及10个城市时，需要计算的可能路线超过300万条。正如你看到的，可能的路线数增加得非常快！因此，如果涉及的城市很多，根本就无法找出
旅行商问题的正确解
旅行商问题和集合覆盖问题有一些共同之处：你需要计算所有的解，并从中选出最小/最短的那个。这两个问题都属于NP完全问题。NP完全问题的简单定义是，以难解著称的问题，如旅行商问题和集合覆盖问题。很多非常聪明的人都认为，根本不可能编写出可快速解决这些问题的算法。

近似求解

对旅行商问题来说，什么样的近似算法不错呢？能找到较短路径的算法就算不错。在继续往下阅读前，看看你能设计出这样的算法吗？
我会采取这样的做法：随便选择出发城市，然后每次选择要去的下一个城市时，都选择还没去的最近的城市。假设旅行商从马林出发。总旅程为71英里。这条路径可能不是最短的，但也相当短了。

如何识别 NP 完全问题

Jonah正为其虚构的橄榄球队挑选队员。他列了一个清单，指出了对球队的要求：优秀的四分卫，优秀的跑卫，擅长雨中作战，以及能承受压力等。他有一个候选球员名单，其中每个球员都满足某些要求。

Jonah需要组建一个满足所有这些要求的球队，可名额有限。等等，Jonah突然间意识到，这不就是一个集合覆盖问题吗！

Jonah可使用前面介绍的近似算法来组建球队。
(1) 找出符合最多要求的球员。
(2) 不断重复这个过程，直到球队满足要求（或球队名额已满）。

NP完全问题无处不在！如果能够判断出要解决的问题属于NP完全问题就好了，这样就不用去寻找完美的解决方案，而是使用近似算法即可。但要判断问题是不是NP完全问题很难，易于解决的问题和NP完全问题的差别通常很小

但如果要找出经由指定几个点的的最短路径，就是旅行商问题——NP完全问题。简言之，没办法判断问题是不是NP完全问题，但还是有一些蛛丝马迹可循的

• 元素较少时算法的运行速度非常快，但随着元素数量的增加，速度会变得非常慢。
• 涉及“所有组合”的问题通常是NP完全问题。
• 不能将问题分成小问题，必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题。
• 如果问题涉及序列（如旅行商问题中的城市序列）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题涉及集合（如广播台集合）且难以解决，它可能就是NP完全问题。
• 如果问题可转换为集合覆盖问题或旅行商问题，那它肯定是NP完全问题