孙子定理/中国剩余定理CRT

同余方程

设是整系数多项式，称是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。

同余方程组

意会一下，就是很多条同余方程嘛2333

一次同余方程/线性同余方程

就是未知数只有一次的

一次同余方程组/线性同余方程组

再次意会一下咳咳

 

CRT就是用来求一元一次同余方程组（一元线性同余方程组）的算法，但朴素CRT要求各个模数m1,m2...mn互质

先整个例子找找感觉：

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”

解：

1.从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数x，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数y，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数z

则x%7==1&&3|x&&5|x , y%5==1&&3|y&&7|y , z%3==1&&5|z&&7|z（a|b表示b可以被a整除）

则2x%7==2&&3|2x&&5|2x , 3y%5==3&&3|3y&&7|3y , 2z%3==2&&5|2z&&7|2z

2.此时，令A=(2x+3y+2z)，则A%7==2，A%5==3,A%3==2。发现A是一个解啦。

解就找到啦！

如果是要找到一个最小的正整数解X呢？很显然X=A%lcm(3,5,7)=A%(3*5*7)  //因为互质嘛，lcm等于乘积

 

所以总结一下。

假设有

令M=m1*m2*...*mn，Mi=M/mi

则按照上述例子里的过程，对于ai我们要找到一个数既是Mi的倍数，又%mi==1,即找到一个Mi*t%mi==1

此处因为各个模数之间都是互质的，所以Mi和mi一定互质，就发现，t取Mi的逆元就很妥噢！

那就做完啦。

通解x=a1*M1*t1+a2*M2*t2+...+an*Mn*tn+k*M, 其中ti等于Mi的逆元,k是整数

模M意义下有唯一解x%M

模板

void exgcd(int a1,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return ;}
    exgcd(b,a1%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a1/b)*y;
}
int CRT(int a[],int m[],int n){
    int M=1,ans=0,t,x,y;
    for(int i=0; i