[施工...][业界良心]数论

1.整除

整除的概念

a,b∈Z ，如果存在一个整数 q ，使 a=b⋅q 成立，则称“ a 能被 b 整除”或“ b 整除 a ”，记做 b∣a ，否则记做 b∤a 。

带余除法定理

设 a,b∈Z ，则存在唯一的整数 q 和 r ，使得 a=b⋅q+r
其中 r∈[0,|b|) 。
也就是 a/b=q,a%b=r 。

性质

• 若 a∣b,b∣c ，则 a∣c
  证明：
  a∣b⇒b=q1⋅a
  b∣c⇒c=q2⋅b
  ∴c=q1⋅q2⋅a
  ∴a∣c

• 若 d∣a,d∣b ，则对于 ∀x,y∈Z ，有 d∣(a⋅x+b⋅y)
  证明：
  d∣a⇒a=q1⋅d
  d∣b⇒b=q2⋅d
  ∴(a⋅x+b⋅y)=q1⋅d⋅x+q2⋅d⋅y=d⋅(q1⋅x+q2⋅y)
  ∴d∣(a⋅x+b⋅y)

• 若 a∣b 且 b≠0 ，则 |a|≤|b|
  证明 :
  a∣b⇒b=q⋅a(q∈Z,q≠0)
  ∴|b|=|q⋅a|=|q|⋅|a|
  又 ∵|q|≥1
  ∴|a|≤|b|

• 若 a∣b 且 b∣a ，则 |a|=|b|≠0
  证明：
  a∣b⇒b=q1⋅a
  b∣a⇒a=q2⋅b
  显然成立。

• 若 a∣b 且 |b|<|a| ，则 b=0 。

• 若 a,b∈Z ，且 a2∣b2 ，则 a∣b
  证明：反证法
  ∵a2∣b2 ，则存在 k∈Z 且 k>0 ，使 b2=k⋅a2
  ∴k=a2b2⇒k√=ab
  ∴ 如果 a∣b ，那 k√∈Z ，那 k 就是完全平方数
  假设 k 不是完全平方数， 则 k√ 是无理数
  但是 k√=ab ， k√ 既然能表示成分数，那就肯定不是无理数
  所以假设不成立， k 是完全平方数
  ∴k√∈Z
  ∴a∣b

2.最大公约数和最小公倍数

定义

最大公约数

设 a,b,m∈Z ，若 m∣a 并且 m∣b ，则称 m 是 a,b 的公约数。

若 a,b 不全等于 0 ，则存在一个最大的 m ，这个最大的 m 叫做 a,b 的最大公约数。

在数学中记做 m=(a,b) ，在OI中可以表示为 gcd(a,b)=m

特别的，如果 gcd(a,b)=1 ，则称 a,b 互质。

对于任意的 a∈N+ ，都有 gcd(a,1)=1

最小公倍数

设 a,b,m∈Z ，若 a∣m 并且 b∣m ，则称 m 是 a,b 的公倍数。

在 a,b 的所有公倍数中，最小的那个叫做 a,b 的最小公倍数。

在数学中记做 m=[a,b] ，在OI中可以表示为 lcm(a,b)=m

定理

• 对于 ∀m∈Z ，若 m≠0 ，则 gcd(m,0)=|m|

• 若 m,n 不全等于 0 ，则 gcd(m,n)≥1

• 若 m∣n ，则 gcd(m,n)=m

• 欧几里得算法（辗转相除法）

设 a,b 是不为 0 的整数，且 a=b⋅q+r ，则 gcd(a,b)=gcd(b,r)
也就是 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

根据这个可以写出求 gcd 的递归代码

int gcd(int a,int b) {
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

迭代当然可以

int gcd(int a,int b) {
    while(b!=0) {
        int r=b;
        b=a%b;
        a=r;
    }
    return a;
} 

或者直接用std

#include
using namespace std;
__gcd(a,b)

写完代码来干一些奇奇怪怪的事情，我们来证明一下这个的正确性。

证明：

设 d=gcd(a,b),d1=gcd(b,r)
那要证明这个定理，就只需要证明 d=d1

∵d1=gcd(b,r)
∴d1∣b,d1∣r
∴b=k1⋅d1,r=k2⋅d1
又 ∵a=b⋅q+r
∴a=q⋅k1⋅d1+k2⋅d1=d1⋅(q⋅k1+k2)
∴d1∣a
又 ∵d1∣b
∴d1 是 a,b 的公约数
∴d1≤d
用相同的思路，在把 d 处理一下，
∵d=gcd(a,b)
∴d∣a,d∣b
∴a=k1⋅d,b=k2⋅d
又 ∵a=b⋅q+r
∴r=a−b⋅q=k1⋅d−q⋅k2⋅d=d⋅(k1−q⋅k2)
∴d∣r
又 ∵d∣b
∴d 是 b,r 的公约数
∴d≤d1
又 ∵d1≤d
∴d=d1

• 扩展欧几里得算法（裴蜀定理）（ x,y 的线性丢番图方程）

挖个坑先。