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主定理证明

转自GoogleSite算法导论习题解答，先fork一下

算法导论其实已经给出了具体的证明步骤，但是还是有些省略，此文章是对主定理进行了完全的证明；


主定理的证明大致分为两个阶段：

(1)假设n为b的整数次幂，如1,b,b^2,b^3....
(2)不限定n的范围，n可以为任意整数；

首先我们先证明第一阶段，即n=b^i；


一、第一阶段


我们先画出递归树：


根据画出的递归树我们能够计算出T(n)：



第一种情况证明：




第二种情况证明：




第三种情况证明：



现在我们证明了当n为b的幂时的情况，下一阶段将要考虑n为任意整数的情况；


二、第二阶段




我们只考虑第一种情况，第二种情况证明类似；

我们也将证明分为三类：



我们先需要根据递归树写出T(n)的计算公式：





第一种情况证明：




第二种情况证明：





第三种情况证明：




就此证毕！

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