导数与微分

导数概念

导数的定义

1. 函数在一点处的导数和导函数：
   
   1. 设函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 的某个邻域内有定义，当自变量 x x 在 x0 x 0 处取得增量 Δx Δ x (点 x0+Δx x 0 + Δ x 仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0) Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ；如果 Δy Δ y 与 Δx Δ x 之比当 Δx→0 Δ x → 0 时的极限存在，则称函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 处可导，并称这个极限为函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 处的导数，记为 f′(x0) f ′ ( x 0 ) ，即 f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ，也可以记作 y′|x=x0，dydx|x=x0 y ′ | x = x 0 ， d y d x | x = x 0 或 df(x)d(x)|x=x0 d f ( x ) d ( x ) | x = x 0 .函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 处可导有事也说成 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 具有导数或导数存在。常见的定义式形式有： f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)h f ′ ( x 0 ) = lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h 和 f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
   2. 导数反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，即函数的变化率问题
   3. 如果函数 y=f(x) y = f ( x ) 在开区间 I I 内的每点处都可导，就称函数 f(x) f ( x ) 在开区间 I I 内可导。这时，对于任一 x∈I x ∈ I ，都对应着 f(x) f ( x ) 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 y=f(x) y = f ( x ) 的导函数，记作 y′，f′(x)，dydx y ′ ， f ′ ( x ) ， d y d x 或 df(x)dx d f ( x ) d x
   4. 即 f′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx f ′ = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x 或 f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h （ x x 是常量， Δ、h Δ 、 h 是变量）
   5. 函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 处的导数 f′(x0) f ′ ( x 0 ) 就是导函数 f′(x) f ′ ( x ) 在点 x=x0 x = x 0 处的函数值，即 f′(x0)=f′(x)|x=x0 f ′ ( x 0 ) = f ′ ( x ) | x = x 0
   6. 导函数简称导数，而 f′(x0) f ′ ( x 0 ) 是 f(x) f ( x ) 在 x0 x 0 处的导数或导数 f′(x) f ′ ( x ) 在 x0 x 0 处的值
2. 常见导数：
   
   1. 常数： f(x)=C（C为常数） f ( x ) = C （ C 为 常 数 ） 的导数 f′(x)=0 f ′ ( x ) = 0 ；
   2. 幂函数： f(x)=xμ（μ为常数） f ( x ) = x μ （ μ 为 常 数 ） 的导数 f′(x)=μxμ−1 f ′ ( x ) = μ x μ − 1
   3. 正弦函数： f(x)=sinx f ( x ) = sin ⁡ x 的导数 f′(x)=cosx f ′ ( x ) = cos ⁡ x
   4. 余弦函数： f(x)=cosx f ( x ) = cos ⁡ x 的导数 f′(x)=−sinx f ′ ( x ) = − sin ⁡ x
   5. 指数函数： f(x)=ax f ( x ) = a x 的导数 f′(x)=axlna f ′ ( x ) = a x ln ⁡ a ，（特殊的 (ex)′=ex ( e x ) ′ = e x ）
   6. 对数函数： f(x)=logax f ( x ) = log a ⁡ x 的导数 f′(x)=1xlna f ′ ( x ) = 1 x ln ⁡ a ，（特殊的 (lnx)′=1x ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x ）
3. 单侧导数：
   
   1. f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 处的左右极限分别称作函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 处的左导数、右导数，左导数和右导数统称为单侧导数
   2. 函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 处可导的充分必要条件是左导数 f′−(x0) f − ′ ( x 0 ) 和右导数 f′+(x0) f + ′ ( x 0 ) 都存在且相等
   3. 如果函数 f(x) f ( x ) 在开区间 (a,b) ( a , b ) 内可导，且 f′+(a) f + ′ ( a ) 及 f′−b f − ′ b 都存在，就说 f(x) f ( x ) 在闭区间 [a,b] [ a , b ] 上可导

导数的几何意义

1. 函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 处的导数 f′(x0) f ′ ( x 0 ) 在几何上表示曲线 y=f(x) y = f ( x ) 在点 M(x0,f(x0)) M ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线的斜率，即： f′(x0)=tanα f ′ ( x 0 ) = tan ⁡ α （ α α 是切线的倾角）
2. 由直线的点斜式方程可知曲线 y=f(x) y = f ( x ) 在点 M(x0,y0) M ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是： y−y0=f′(x0)(x−x0) y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 )
3. 过切点 M(x0,y0) M ( x 0 , y 0 ) 且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x) y = f ( x ) 在点 M M 处的法线，如果 f′(x0)≠0 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 ，法线的斜率为 −1f′(x0) − 1 f ′ ( x 0 ) ，从而法线方程为 y−y0=−1f′(x0)(x−x0) y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 )

函数可导性与连续性的关系

如果函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x x 处可导，则函数在该点必连续；饭如果一个函数在某点连续却不一定在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要不充分条件

函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

1如果函数 u=u(x) u = u ( x ) 及 v=v(x) v = v ( x ) 都在点 x x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点 x x 具有导数，且：
1. [u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x) [ u ( x ) ± v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) ± v ′ ( x )
2. [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x) [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x )
3. [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)(v(x)≠0) [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) − u ( x ) v ′ ( x ) v 2 ( x ) ( v ( x ) ≠ 0 )
4. [Cu(x)]′=Cu′ [ C u ( x ) ] ′ = C u ′ (C是常数)

反函数的求导法则

如果函数 x=f(y) x = f ( y ) 在区间 Iy I y 内单调、可导且 f′(y)≠0 f ′ ( y ) ≠ 0 ，则它的反函数 y=f−1(x) y = f − 1 ( x ) 在区间 Ix={x|x=f(y),y∈Iy} I x = { x | x = f ( y ) , y ∈ I y } 内也可导，且 [f−1(x)]′=1f′(y) [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) 或 dydx=1dxdy d y d x = 1 d x d y

复合函数的求导法则

如果 u=g(x) u = g ( x ) 在点 x x 可导，而 y=f(u) y = f ( u ) 在点 u=g(x) u = g ( x ) 可导，则复合函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] 在点 x x 可导，且其导数为 dydx=f′(u)⋅g′(x) d y d x = f ′ ( u ) ⋅ g ′ ( x ) 或 dydx=dydu⋅dudx d y d x = d y d u ⋅ d u d x

基本求导法则与导数公式

常数和基本初等函数的导数公式：
1. (C)′=0 ( C ) ′ = 0
2. (xμ)′=μxμ−1 ( x μ ) ′ = μ x μ − 1
3. (sinx)′=cosx ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x
4. (cosx)′=−sinx ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x
5. (tanx)′=sec2x ( tan ⁡ x ) ′ = sec 2 ⁡ x
6. (cotx)′=−csc2x ( cot ⁡ x ) ′ = − csc 2 ⁡ x
7. (secx)′=secxtanx ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x
8. (cscx)′=−cscxcotx ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x
9. (ax)′=axlna ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a
10. (ex)′=ex ( e x ) ′ = e x
11. (logxa)′=1xlna ( log a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a
12. (lnx)′=1x ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x
13. (arcsinx)′=11−x2√ ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2
14. (arccosx)′=−11−x2√ ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2
15. (arctanx)′=11+x2 ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2
16. (arccot x)′=−11+x2 ( a r c c o t   x ) ′ = − 1 1 + x 2

高阶导数

1. 把 y′=f′(x) y ′ = f ′ ( x ) 的导数叫做函数 y=f(x) y = f ( x ) 的二阶导数，记作 y″ y ″ 或 d2ydx2 d 2 y d x 2 ，即 y″=(y′)′ y ″ = ( y ′ ) ′ 或 d2ydx2=ddx(dydx) d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x )
2. （n-1）阶导数的导数叫做n阶导数，记作 dnydxn d n y d x n
3. 函数 y=f(x) y = f ( x ) 具有 n n 阶导数，也常说成函数 f(x) f ( x ) 为 n n 阶可导，如果函数 f(x) f ( x ) 在点 x x 处具有 n n 阶导数，那么 f(x) f ( x ) 在点 x x 的某一邻域内必定具有一切低于 n n 阶的导数，二阶及二阶以上的导数统称高阶导数
4. 莱布尼兹公式： (uv)(n)=∑nk=0Cknu(n−k)v(k) ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k )

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

隐函数的导数

1. 显函数：如 y=sinx y = sin ⁡ x 这样，等式左边是因变量符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
2. 隐函数：如 x+y3−1=0 x + y 3 − 1 = 0 这样，变量 y y 有确定的值与之对应的函数称为隐函数
3. 将隐函数转换成显函数叫做隐函数的显化。例如将 x+y3−1=0 x + y 3 − 1 = 0 转换为 y=1−x‾‾‾‾‾√ y = 1 − x
4. 有些情况下利用对数求导法能够简化求导。如对 y=xsinx y = x sin ⁡ x 求导，可先对等式两边去对数，转换为 lny=sinx⋅lnx ln ⁡ y = sin ⁡ x ⋅ ln ⁡ x ；最终可得到 y′=xsinx(cosx⋅lnx+sinxx) y ′ = x sin ⁡ x ( cos ⁡ x ⋅ ln ⁡ x + sin ⁡ x x )

相关变化率

两个相互依赖的变化率称为相关变化率，如 x=x(t)，y=y(t) x = x ( t ) ， y = y ( t ) 都是可导函数，而变量 x、y x 、 y 之间存在某种关系，从而变化率 dxdt d x d t 与 dydt d y d t 间也存在一定关系

函数的微分

微分的定义

1. 设函数 y=f(x) y = f ( x ) 在某区间内有定义， x0 x 0 及 x0+Δx x 0 + Δ x 在这区间内，如果增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0) Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) 可表示为 Δy=AΔx+o(Δx) Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) ，其中 A A 是不依赖于 Δx Δ x 的常数，那么称函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 是可微的，而 AΔx A Δ x 叫做函数 y=f(x) y = f ( x ) 在点 x0 x 0 相应于自变量增量 Δx Δ x 的微分，记作 dy d y ，即 dy=AΔx d y = A Δ x
2. 函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 可微的充分必要条件是函数 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 可导，且当 f(x) f ( x ) 在点 x0 x 0 可微时，其微分一定是 dy=f′(x0)Δx d y = f ′ ( x 0 ) Δ x
3. 设 α、β α 、 β 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，如果 β=α+o(α) β = α + o ( α ) ，则称 α α 是 β β 的主部
4. 在 f′(x0)≠0 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 的条件下，以微分 dy=f′(x0)Δx d y = f ′ ( x 0 ) Δ x 近似代替增量 Δy=f(x0+Δx)−f(x0) Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) 时，其误差为 o(dy) o ( d y ) 。因此，在 |Δx| | Δ x | 很小时，有近似等式 Δy≈dy Δ y ≈ d y
5. 函数 y=f(x) y = f ( x ) 在任意点 x x 的微分，称为函数的微分，记作 dy d y 或 df(x) d f ( x ) ，即 dy=f′(x)Δx d y = f ′ ( x ) Δ x
6. 通常把自变量 x x 的增量 Δx Δ x 称为自变量的微分，记作 dx d x ，即 dx=Δx d x = Δ x ；所以函数 y=f(x) y = f ( x ) 的微分又可记作 dy=f′(x)dx d y = f ′ ( x ) d x ，从而有 dydx=f′(x) d y d x = f ′ ( x ) 。即函数的微分 dy d y 与自变量的微分 dx d x 之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”

微分的几何意义

在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，在数学上称为非线性函数的局部线性化

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1. 基本初等函数的微分公式

导数公式	微分公式
(xμ)′=μxn−1 ( x μ ) ′ = μ x n − 1	d(xμ)=μxμ−1dx d ( x μ ) = μ x μ − 1 d x
(sinx)′=cosx ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x	d(sinx)=cosxdx d ( sin ⁡ x ) = cos ⁡ x d x
(cosx)′=−sinx ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x	d(cosx)=−sinxdx d ( cos ⁡ x ) = − sin ⁡ x d x
(tanx)′=sec2x ( tan ⁡ x ) ′ = sec 2 ⁡ x	d(tanx)=sec2xdx d ( tan ⁡ x ) = sec 2 ⁡ x d x
(cotx)′=−csc2x ( cot ⁡ x ) ′ = − csc 2 ⁡ x	d(cotx)=−csc2xdx d ( cot ⁡ x ) = − csc 2 ⁡ x d x
(secx)′=secxtanx ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x	d(secx)=secxtanxdx d ( sec ⁡ x ) = sec ⁡ x tan ⁡ x d x
(cscx)′=−cscxcotx ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x	d(cscx)=−cscxcotxdx d ( csc ⁡ x ) = − csc ⁡ x cot ⁡ x d x
(ax)′=axlna ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a	d(ax)=axlnadx d ( a x ) = a x ln ⁡ a d x
(ex)′=ex ( e x ) ′ = e x	d(ex)=exdx d ( e x ) = e x d x
(logxa)′=1xlna ( log a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a	d(logxa)=1xlnadx d ( log a x ) = 1 x ln ⁡ a d x
(lnx)′=1x ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x	d(lnx)=1xdx d ( ln ⁡ x ) = 1 x d x
(acrsin x)′=11−x2√ ( a c r s i n   x ) ′ = 1 1 − x 2	d(acrsin x)=11−x2√dx d ( a c r s i n   x ) = 1 1 − x 2 d x
(acrcos x)′=−11−x2√ ( a c r c o s   x ) ′ = − 1 1 − x 2	d(acrcos x)=−11−x2√dx d ( a c r c o s   x ) = − 1 1 − x 2 d x
(acrtan x)′=11+x2√ ( a c r t a n   x ) ′ = 1 1 + x 2	d(acrtan x)=11+x2√dx d ( a c r t a n   x ) = 1 1 + x 2 d x
(acrcot x)′=−11+x2√ ( a c r c o t   x ) ′ = − 1 1 + x 2	d(acrcot x)=−11+x2√dx d ( a c r c o t   x ) = − 1 1 + x 2 d x

2. 函数和、差、积、商的微分法则

函数和、差、积、商的求导法则	函数和、差、积、商的微分法则
(u±v)′=u′±v′ ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′	d(u±v)=du±dv d ( u ± v ) = d u ± d v
(Cu)′=Cu′ ( C u ) ′ = C u ′	d(Cu)=Cdu d ( C u ) = C d u
(uv)′=u′v+uv′ ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′	d(uv)=vdu+udv d ( u v ) = v d u + u d v
(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0) ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 ( v ≠ 0 )	d(uv)=vdu−udvv2(v≠0) d ( u v ) = v d u − u d v v 2 ( v ≠ 0 )

3. 复合函数的微分法则
设 y=f(u) y = f ( u ) 和 u=g(x) u = g ( x ) 都可导，则复合函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] 的微分为 dy=y′xdx=f′(u)g′(x)dx d y = y x ′ d x = f ′ ( u ) g ′ ( x ) d x ，由于 g′(x)dx=du g ′ ( x ) d x = d u ，所以复合函数 y=f[g(x)] y = f [ g ( x ) ] 的微分公式也可以写成 dy=f′(u)du d y = f ′ ( u ) d u 或 dy=y′udu d y = y u ′ d u 。
由此可见，不论 u u 是自变量还是中间变量，微分形式 dy=f′(u)du d y = f ′ ( u ) d u 保持不变，这一性质称为微分形式不变性

微分在近似计算中的应用

1. 函数的近似计算及常见近似公式
   
   1. Δy=f(x0+Δx)−f(x0)≈f′(x0)Δx Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ≈ f ′ ( x 0 ) Δ x 或 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) Δ x
   2. 1+x‾‾‾‾‾√n≈1+1nx 1 + x n ≈ 1 + 1 n x
   3. sinx≈x sin ⁡ x ≈ x (x用弧度作单位来表达)
   4. tanx≈x tan ⁡ x ≈ x (x用弧度作单位来表达)
   5. ex≈1+x e x ≈ 1 + x
   6. ln(1+x)≈x ln ⁡ ( 1 + x ) ≈ x
2. 误差估计
   
   1. 由于测量仪器精度问题，会导致测量数据有误差，根据有误差的数据计算得来的结果也有误差，这叫做间接测量误差
   2. 如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与|a|的比值 |A−a||a| | A − a | | a | 叫做a的相对误差
   3. 如果能确定误差范围，即 |A−a|≤δA | A − a | ≤ δ A ，那么 δA δ A 叫测量A的绝对误差限，而 δA|a| δ A | a | 叫做测量A的相对误差限
   4. 常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差