bzoj1797 最小割唯一性问题

题目大意

有两问：

1. 判断一条边是否可以在最小割中；
2. 判断一条边是否一定在最小割中．

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做法：

首先做一遍最大流得到残量网络．

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第一问

对于第一问，我们设这条边为 (u,v) ．

则残量网络上从 s 向 u 连一条流量为 +∞ 的边，从 v 向 t 连一条流量为 +∞ 的边，可以保证 u 被划到 s 集， v 被划到 t 集．

如果在残量网络上 u 到 v 有路径，则存在一条 s 到 u 到 v 到 t 的路径，出现了增广路，最小割会增加，所以残量网络上 u 到 v 没有路径．

首先可以得到 (u,v) 必须满流，不然 u,v 可以直接通过这条边连接．

其次如果 u,v 之间有别的路径可以连通，则 u 到 v 到 u （因为 (u,v) 满流，所以有 (v,u) 的反向弧）在同一个强连通分量中．

所以我们只需要对残量网络tarjan缩点，首先判断 (u,v) 是否满流，如果满流则判断是否在同一个强连通分量中，如果不在同一个强连通分量中则 (u,v) 可以在最小割中．

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第二问

对于第二问，我们也设这条边为 (u,v) ．

我们寻找 u,v 的性质．

因为 u 一定会被划到 s 集，所以 s 在残量网络上一定可以到达 u ．
因为如果 s 不能到达 u ，则可以从 u 连一条流量为 +∞ 的边到 t ，不会出现增广路，最小割不会改变，则 u 可以被划到 t 集中，出现了矛盾．

由根据第一问， (u,v) 可以出现在最小割中则 (u,v) 一定满流，所以 s 到 u 一定有一条増广过的路，所以一定有一条 u 到 s 的由反向弧构成的路，而 s 能到达 u ，所以 s,u 在同一个强连通分量中．

同理， v,t 在同一个强连通分量中．

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综上所述，

对于第一问，我们找到一条满流的边，判断它的两端是否不在同一个强连通分量中即可．

对于第二问，我们找到一条满流的边，判断是否分别在 s 所在的强连通分量， t 所在的强连通分量之中即可．