hdu 4870 Rating 高斯消元/递推

题意：给定一个概率p，做一道题有p概率成功，(1-p)概率失败。成功分数+50，最高1000；失败分数-100，最低0分。现有两个账号，每次选择分数低的账号去做题，问其中一个账号达到1000分的期望次数。

题解：

（1）高斯消元法

得分必须是f(0,0)->f(0,50)->f(50,50)->...->f(950,950)->f(950,1000)。所以所求期望次数就是到一个账号到1000的期望次数加上另一个账号达到950分的期望次数。记f(i)表示分数i*50到1000分需要的期望次数。那么答案ans=f(0)*2-f(19)。也就是说两次都到1000分，然后减去一次950到1000分的期望次数。

我们可以列方程，对于i>=2的数来说，我们记xi=f(i)，那么可以得到方程组xi=p*(x(i+1)+1)+(1-p)*(x(i-2)+1)。其中(0<=i<20，i为0和1时需要特别处理，x20=0)。这样我们就可以直接套高斯消元法的模板了。

（2）递推式

思路跟上面差不多，我们将f(0)->f(50)记为g[0]，f(50)->f(100)记为g[1]。。。，以此类推。那么答案ans=∑g[i]*2+g[19](0<=i<=18)，先求出g[0]和g[1]（列出式子，化解等比数列）。然后发现g[i]和g[i-1]+g[i-2]有关，具体见代码和代码注释说明。

代码：

高斯消元发求解：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;


//高斯消元
const int eps=1e-8;
const int maxn=22;
struct matrix{
    double f[maxn][maxn];
}a;
void gauss_jordan(int n)
{
    int i,j,k,r;
    for(i=0;ifabs(a.f[r][i]))r=j;
        if(fabs(a.f[r][i])=i;j--)a.f[k][j]-=a.f[k][i]/a.f[i][i]*a.f[i][j];
    }
}

int n,d[maxn];
int inf[maxn];
int main()
{
    double p;
    while(scanf("%lf",&p)!=EOF)
    {
        int i,j,k;
        memset(a.f,0,sizeof(a.f));
        for(i=0;i<20;i++)
        {
            if(i==0)a.f[0][0]=p;
            else if(i==1)a.f[1][0]=p-1;
            else a.f[i][i-2]=p-1;

            if(i!=19)a.f[i][i+1]=-p;
            if(i!=0)a.f[i][i]=1;
            a.f[i][20]=1;
        }
        gauss_jordan(20);
        memset(inf,0,sizeof(inf));
        for(i=n-1;i>=0;i--)
        {
            if(fabs(a.f[i][i])eps)inf[i]=1;
            for(j=i+1;jeps&&inf[j])inf[i]=1;
        }

        printf("%.6f\n",a.f[0][20]/a.f[0][0]*2-a.f[19][20]/a.f[19][19]);
    }
    return 0;
}

递推式求解：

//递归公式
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

double f[100],s[100];
int main()
{
    double p=0.814700;
    while(scanf("%lf",&p)!=EOF)
    {
        int i;
        f[0]=1.0/p;
        f[1]=1.0/p/p;
        s[1]=(f[0]+f[1])*2.0;
        for(i=2;i<20;i++)
        {
            f[i]=(f[i-1]+f[i-2]+1-(f[i-1]+f[i-2])*p)/p;
            s[i]=s[i-1]+f[i]*2;
        }
        printf("%.6f\n",s[19]-f[19]);
    }
    return 0;
}
/*
    我们可以知道得分过程为f[0][0]->f[0][50]->f[50][50]->...->f[950][1000]
    我们发现g[0][0]->g[0][50]和g[0][50]->g[50][50]的期望路长是一样的，
    所以我们只用求g[0]->g[50]->g[100]->...->g[1000]，记为f[i]
    ans=∑f[i]*2+f[19](0<=i<=18)
    我们先求出f[0]和f[1]，之后我们发现x到x+50,有两种情况一种是x+50,
    另一种是x-100，x-100到x，期望路长已经求过为f[i-1]+f[i-2]，最终得到一个等比数列，
    解得f[i]=(f[i-1]+f[i-2]+1-(f[i-1]+f[i-2])*p)/p;
*/