网络流Ford-fulkerson算法及dinic算法

当一个图中的每条边都拥有流量和最大流量时，我们一般就会求整个图的最大流量，这种问题就是网络流的最大流问题。

一开始我们考虑使用贪心，遍历一条路，找到整条路上的最大流量的最小值，储存，然后更新各点，当某边流量值等于最大流量值时，删除该边，再次遍历知道没有从源点到汇点的路径。

但经过简单的验证我们发现，以上的贪心算法算出的结果不一定是最优解。

原因是什么？

原因就是贪心过早地“填满了一条边”，从而“封锁了流量继续增加的可能”。

所以我们思考，能否将“不合理”的边删掉，从而继续搜索路径。但实际上，直接进行删除操作太过复杂，所以我们可以将原边的逆向边加在图中，这样就可以巧妙地删除不合理的边，从而求到最优解。

int dfs(int to,int t,int f)

{

if(to==t)return f;

vis[to]=1;

for(int i=first[to];i!=0;i=next[i]){

int v=go[i];

if(vis[v]==0&&data[i]>0){

int d=dfs(v,t,min(f,data[i]));

if(d>0){

data[i]-=d;

data[i^1]+=d;

return d;

}

}

}

return 0;

}

该方法使用的是纯DFS以上是DFS过程中的代码

但是我们应该注意一个问题纯DFS效率低下，耗时长

使用dfs找增广路

O(n+m)

做少增加1的流量；

最坏情况下要增加C次（C为边的容量和）

因此最多增加C次

时间复杂度：

C*(m+n)≈C*n^2

所以我们可以用BFS进行分层，从而在找增广路时达到优化的效果，这就是网络流的dinic算法。

该算法的核心思想是：进行增广的时候，选择从源到汇的具有最少边数的增广路径。

事实证明这种算法的复杂度上限为nm 2  (n是点数，m是边数），所以dinic算法其实是要优惠很多的。

算法步骤如下：

1、BFS对点进行分层；

2、从源点开始，用DFS从前一层向后一层反复寻找增广路(即要求DFS的每一步都必须要走到下一层的节点）

3、当找到汇点后，说明找到一条增广路，更新，进行增广；

4、增广后，不结束，回溯，继续找新的增广路；

5、当找不到增广路后，跳到第一步进行BFS，如果BFS无法找到汇点，则结束；