莫队算法学习笔记（二）——带修莫队

前言：什么是莫队

莫队算法，是一个十分优雅的暴力。

普通的莫队可以轻松解决一些离线问题，但是，当遇上了一些有修改操作的问题，普通莫队就无能为力了。

于是，改进后的莫队——带修莫队就这样产生了。

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普通莫队详见博客莫队算法学习笔记（一）——普通莫队

接下来，我们一起在普通莫队的基础之上，学会带修莫队这个强大无比的算法。

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第一个问题：如何处理修改

既然是带修莫队，那么第一个关键问题就是如何处理修改。

其实，我们可以增加一个变量，来记录对于每一个询问操作，在进行询问之前一共进行了多少次修改，然后对于每一次询问，只要像普通莫队的$L$指针和$R$指针一样新增一个$K$指针来表示当前进行了多少次修改，而$K$指针的移动也与$L$指针和$R$指针是类似的。

模板如下：

register int L=0,R=0,K=0,ans=0;
for(sort(q+1,q+q_num+1,cmp),i=1;i<=q_num;++i)
{
        while(K<q[i].k) Change(++K);
        while(K>q[i].k) Change(K--);
        while(R<q[i].r) Add(++R);
        while(L>q[i].l) Add(--L);
        while(R>q[i].r) Del(R--);
        while(L<q[i].l) Del(L++);
        res[q[i].pos]=ans;
}

而$Change()$函数、$Add()$函数和$Del()$函数里面的内容自己视题意而定。

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第二个问题：如何写排序函数

现在加上了一个$k$变量来表示在每个询问之前进行了几次操作。

那么，现在的排序函数$cmp()$应该怎么写呢？

首先，应该判断$l$是否在同一块内，如果相同，就返回$pos[x.l]<pos[y.l]$。

然后，应该判断$r$是否在同一块内，如果相同，就返回$pos[x.r]<pos[y.r]$。

最后，再比较$k$的大小，即返回$x.k<y.k$。

模板如下：

inline bool cmp(Query x,Query y)
{
    if(pos[x.l]^pos[y.l]) return pos[x.l]<pos[y.l];//判断l是否在同一块内，如果相同，就返回pos[x.l]
    if(pos[x.r]^pos[y.r]) return pos[x.r]<pos[y.r];//判断r是否在同一块内，如果相同，就返回pos[x.r]
    return x.k<y.k;//比较k的大小，即返回x.k
}

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第三个问题：块的大小

学过莫队的人应该都知道，莫队算法需要分块。

那么带修莫队块的大小应该是多少呢？

我们就需要对这个算法的时间复杂度进行一波分析。

首先我们假设块的大小为$n^x$（其中$0$1），并假设$m$的大小与$n$差不多。

那么我们分别考虑3个指针的移动：

• 对于$L$指针

  • 在块内移动时，每一次移动的复杂度应为$O(n^x)$，由于共有$m$次询问，因此总复杂度为$O(n^{x+1})$。
  • 到下一个块时，每一次移动的复杂度应为$O(n^x)$，由于块的大小为$O(n^x)$，因此总块数为$O(\frac{n}{n^x})$，因此总复杂度为$O(n)$。

  $\therefore L$指针的总复杂度为$O(n^{x+1})$。

• 对于$R$指针

  • $L$和$R$全都在块内移动时，每一次移动的复杂度应为$O(n^x)$，由于这样的情况共有$O((\frac{n}{n^x}{)}^2)$，即$O(n^{2-2x})$次，因此总复杂度为$O(n^{2-x})$。
  • $L$块相同且$R$到下一块时，每一次移动的复杂度应为$O(n^x)$，由于总块数为$O(\frac{n}{n^x})$，即$O(n^{1-x})$，因此总复杂度为$O(n^{2-x})$
  • $L$指针移动到下一个块时，每一次移动的复杂度应为$O(n)$，由于这样的情况共有$O(\frac{n}{n^x})$，即$O(n^{1-x})$次，因此总复杂度为$O(n^{2-x})$。

  $\therefore R$指针的总复杂度为$O(n^{2-x})$。

• 对于$K$指针

  • $L$和$R$全都在块内移动时，此时$K$指针应该是递增的（因为排序时对于这样的情况我们$return$ $x.k<y.k$），所以总复杂度为$O(n)$。
  • $L$块相同且$R$到下一块时，每一次移动的复杂度应为$O(n)$，由于这样的情况有$O(n^{2-2x})$次，因此总复杂度为$O(n^{3-2x})$。
  • $L$指针移动到下一个块时，每一次移动的复杂度应为$O(n)$，由于这样的情况共有$O(n^{1-x})$次，因此总复杂度为$O(n^{2-x})$。

  $\therefore K$指针的总复杂度为$O(n^{max(2-x,3-2x)})$。

综上所述，算法的总时间复杂度应为$O(n^{max(x+1,2-x,3-2x)})$，那么我们的目的就是找到一个$x$（$0<x<1$）使$max(x+1,2-x,3-2x)$最小。

此时的$x$应取$\frac{2}{3}$，所以块的大小就是$O(n^{\frac{2}{3}})$。

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第四个问题：时间复杂度

呃，我想这个问题应该已经在上个问题中解决了。

带修莫队的时间复杂度应为$O(n^{\frac{5}{3}})$。

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例题

带修莫队这样差不多就讲完了，下面给一道例题：

【BZOJ2120】数颜色（带修莫队）

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【BZOJ2120】数颜色 的题解详见博客【BZOJ2120】数颜色（带修莫队）