矩阵特征值求法实例

矩阵特征值

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维 列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值（characteristic value)或 本征值（eigenvalue)。

矩阵特征值方法

对于矩阵A，由AX=λ ₀X，λ ₀EX=AX，得[λ ₀E-A]X=θ即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根是特征多项式|λ ₀E-A| =0的根，由代数基本定理

有n个复根λ ₁,λ ₂,…,λ _n，为A的n个特征根。当特征根λ _i(I=1,2,…,n)求出后，(λ _iE-A)X=θ是齐次方程，λ _i均会使|λ _iE-A|=0，(λ _iE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λ _iE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

矩阵特征值示例

求矩阵

的特征值与特征向量。

解：由特征方程

解得A有2重特征值λ ₁=λ ₂=-2，有单特征值λ ₃=4。

对于特征值λ ₁=λ ₂=-2，解方程组(-2E-A)x=θ

得同解方程组x ₁-x ₂+x ₃=0，解为x ₁=x ₂-x ₃(x ₂,x ₃为自由未知量)。分别令自由未知量

得基础解系

所以A的对应于特征值λ ₁=λ ₂=-2的全部特征向量为x=k ₁ξ ₁+k ₂ξ ₂(k ₁,k ₂不全为零)，可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数是特征根的 重数。

对于特征值λ ₃=4，方程组(4E-A)x=q

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x ₃=2得基础解系ξ ₃

，所以A的对于特征值λ ₃=4得全部特征向量为x= k ₃ξ _{3。 ^[1]}