BJOI2019部分题解

送别估计是不会写了。勘破神机已填坑。代码就不贴了QAQ

奥术神杖

看到数据范围就会做了。。
$\sqrt[c]{\prod v_i}=k\iff \prod v_i=k^c\iff \sum \log v_i=c\log k\iff \frac{\sum \log v_i}{c}=\log k$

最大化 $\frac{\sum \log v_i}{c}$ ，01分数规划一下，然后在AC自动机上跑dp即可。注意精度问题。
时间复杂度 $O(s^2\ast \log )$

勘破神机

并不是一道有意思的题。
设 $f(i)$ 表示宽为 $n$ 的2型宝石的方案数，$g(i)$ 表示宽为 $n$ 的3型宝石，那么我们不难得到它的递推式：
$$f(i)=f(i-1)+f(i-2)$$ $$g(2i)=g(2i-2)+2\sum _{j=1}^{i}g(2i-2j)\Rightarrow g(2i)=4g(2i-2)-g(2i-4)$$
而
$$F(n,k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{f(n)}{k}\right),G(n,k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{g(n)}{k}\right)$$

因此我们就需要解决一个组合数的求和，注意到 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{n^{\underline{m}}}{m!}$

$$x^{\underline{k}}=\sum _{i=0}^k(-1{)}^{k-i}{S}_1(k,i)x^i$$

$$\sum _{i=l}^{r}F(n,k)=\sum _{i=l}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{f(i)}{k}\right)=\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}{S}_1(k,j)\sum _{i=l}^{r}f(i{)}^k\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$=\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}{S}_1(k,j)\sum _{i=l}^r(A{x}^i+B{y}^i{)}^k\text{\hspace{1em}(2)}$$ $$=\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}{S}_1(k,j)\sum _{r=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r})A^r{B}^{k-r}\sum _{i=l}^r(x^r{y}^{k-r}{)}^i\text{\hspace{1em}(3)}$$

我们求出 $f(i),g(i)$ 的通项公式，枚举 $j,r$，对后面的用等比数列求和。只需要预处理求下降幂的系数即可。
如果模意义下没有二次剩余，可以写个结构体来表示数字 $a+b\sqrt{5}$，重载一下运算符就能用。

时间复杂度 $O(k^2\log n)$。

排兵布阵

所有对手分开考虑，不难发现每个城堡的士兵数量只可能有 $0$ 或 $2x+1$ 两种可能，暴力背包$O(snm)$

光线

挺有意思的一道题。为了方便表述，我们约定玻璃的上表面为正面，下表面为反面，下标同题面。

先考虑只有两块玻璃的情况，我们可以设上面的玻璃的反面总共接受了 $x$ 份光，下面玻璃的正面总共接受了 $y$ 份光。列出方程即可解：$x=y\ast b_1,y=a_0+x\ast b_2$

然后我们可以把两块玻璃合成为一块玻璃，然而合成后的玻璃正反的透射和折射率并不相同，所以只要维护合成玻璃的正面透光率和反面反射率即可。最后合并成一块玻璃输出透光率。

时间复杂度 $O(n\log p)$，其中 $\log p$ 来源于求逆元。

删数

很巧妙的一道题。有这么一个结论，把当前序列中 $[1,n]$ 中的数字画成柱状图，然后把所有柱子向左倒，则 $[0,n]$ 中的未被覆盖的长度即为答案。

用线段树维护最小值和其出现次数即可。注意到超出左边界的柱子不会对答案造成影响，我们只对右端点进行加入和删除即可。

时间复杂度 $O((n+m)\log n)$