数值分析 第六章 数值积分
求积公式
一般形式
∫baf(x)dx=∑k=0nAk+R[f]≈∑k=0nAk
插值型求积公式
Ak=∫balk(x)dx
R[f]=1(n+1)!∫baf(n+1)(ξx)ωn+1(x)dx,ξx∈(a,b)且与x有关
Newton-Cotes公式
形式
∫baf(x)dx≈(b−a)∑k=0nC(n)kyk
C(n)k=Akb−a=(−1)n−kn!(n−k)!∫n0∏i=0i≠kn(t−i)dt
R[f]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f(n+1)(η)(n+1)!∫baωn+1(x)dx,f(n+2)(η)(n+2)!∫baxωn+1(x)dx,n为奇数n为偶数
Cotes 系数表
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 12 | |||
| 2 | 16 | 46 | 16 | ||
| 3 | 18 | 38 | 38 | 18 | |
| 4 | 790 | 1645 | 215 | 1645 | 790 |
梯形求积公式
当 n=1 时，Newton-Cotes公式就成了梯形求积公式，如下：
T:∫baf(x)dx≈b−a2[f(a)+f(b)],|R[f]|⩽(b−a)312M2
说明： M2 代表 f(x) 的二阶导数的最大值。
Simpson 求积公式
当 n=2 时，Newton-Cotes公式就成了 Simpson 求积公式，如下：
S:∫baf(x)dx≈b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]
|R[f]|⩽(b−a)52880M4
说明： M4 代表 f(x) 的四阶导数的最大值。
Cotes 求积公式
当 n=4 时，Newton-Cotes公式就成了 Cotes 求积公式，如下：
C:∫baf(x)dx≈b−a90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]
|R[f]|⩽(b−a)71935360M6
说明： M6 代表 f(x) 的六阶导数的最大值。
复化求积公式
把积分区间划分为 n 个小区间，则每小段区间长度 h=b−an ， I=∫baf(x)dx .
复化梯形求积公式
对梯形求积公式进行复化，可以得到：
Tn=h2[f(a)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)]
|I−Tn|⩽(b−a)312n2M2
其中， xk=a+kh ， M2 代表 f(x) 的二阶导数的最大值。
复化 Simpson 求积公式
对 Simpson 求积公式进行复化，可以得到：
Sn=h6[f(a)+4∑k=1nf(xk−12)+2∑k=1n−1f(xk)+f(b)]
|I−Sn|⩽(b−a)52880n4M4
其中， xk=a+kh ， xk−12=a+(k−12)h ， M4 代表 f(x) 的四阶导数的最大值。
复化 Cotes 求积公式
对 Cotes 求积公式进行复化，可以得到：
Cn=h90[7f(a)+32∑k=1n(f(xk−34)+f(xk−14))+12∑k=1nf(xk−12)+14∑k=1n−1f(xk)+7f(b)]
|I−Cn|⩽(b−a)71935360n6M6
其中， xk=a+kh ， xk−34=a+(k−34)h ， xk−12=a+(k−12)h ， xk−14=a+(k−14)h ， M6 代表 f(x) 的六阶导数的最大值。
Gauss 型求积公式
定义6.1 代数精度
若求积公式
∫baf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)
对
f(x)=xj 都精确成立，
(j=0,1,2,...,m) ，但是对
f(x)=xm+1 不精确成立，即
∫baxjdx=∑k=0nAkxjk,j=0,1,2,...,m
∫baxm+1dx≠∑k=0nAkxm+1k
则称此公式 具有 m 次代数精度.
可见, 若公式具有 m 次代数精度,则公式对所有次数不超过 m 的多项式都精确成立.
n+1 个节点的 插值型求积公式至少具有 n 次代数精度, n 是偶数时 Newton−Cotes 公式具有 n+1 次代数精度.
定理6.1 Gauss型求积公式的一般理论
区间 [a,b] 上权函数为 ρ(x) 的具有 n 个节点的数值积分公式代数精度不超过 2n−1 次.
证明
若记 x1,x2,…xn 为求积节点,则积分公式为
∫baf(x)ρ(x)dx≈∑k=1nAkf(xk)
取
2n 次多项式
p(x)=(x−x1)2(x−x2)2...(x−xn)2 ,则有
0<∫bap(x)ρ(x)dx≠∑k=1nAkp(xk)=0
所以，求积公式的代数精度不超过
2n−1 .
定义6.2 Gauss 型求积公式
使求积公式具有 2n−1 次代数精度的节点 x1,x2,…xn 称为 Gauss 点,此时的插值型求积公式称为 Gauss 型求积公式.
定理6.2 Gauss 点定理
对区间 [a,b] 上权函数为 ρ(x) 的积分
I=∫baf(x)ρ(x)dx
区间 [a,b] 上权函数为 ρ(x) 的正交多项式 pn(x) 的 n 个零点 x1,x2,…xn 恰为 Gauss 点.
构造方法
1.求 [a,b] 上权函数为 ρ(x) 的 n 次正交多项式 \pn(x) ;
2.求 \pn(x)=0 的 n 个零点，作为 Gauss 点; x1,x2,...,xn ;
3.计算系数 Ai=∫baρ(x)li(x)dx,i=1,2,...,n. ;
4.给出结果
∫baf(x)ρ(x)dx≈∑i=1nAif(xi)
5.计算余项步骤
1>构造 2n−1 次 Hermite 插值多项式 H2n−1(x) 使 H2n−1(xi)=f(xi) , H′2n−1(xi)=f′(xi) .则 R2n−1(x)=f(2n)(ξx)(2n)!ω2n(x) .
因为 Gauss 型求积公式具有 2n−1 次代数精度，所以有
∫baH2n−1(x)ρ(x)dx=∑i=1nAiH2n−1(xi)
2>
R[f]=∫baf(x)ρ(x)dx−∑i=1nAif(xi)=∫baf(x)ρ(x)dx−∑i=1nAiH2n−1(xi)=∫baf(x)ρ(x)dx−∫baH2n−1(x)ρ(x)dx=∫baf(x)ρ(x)f(2n)(ξx)(2n)!ω2n(x)dx=f(2n)(ηx)(2n)!∫baω2n(x)ρ(x)dx