[BZOJ2707][SDOI2012]走迷宫（tarjan+概率期望+高斯消元）

题目描述

传送门

题解

刚开始题意理解错了…或者说我对期望的理解本来就不是很好…
首先考虑图是一个DAG的情况
如果除了终点之外还有出度为0的点，那么答案为INF（因为有概率不走到终点）
然后令 f(i) 表示从点i走到终点的期望步数，那么 f(i)=∑(i,v)∈E(f(v)+1)∗out(i) ，其中 out(i) 从点i走一条边的概率（也就是出度的倒数）
如果图不是一个DAG的话，可以缩点之后将图变成一个DAG，对于DAG上的边直接dp，但是强连通分量里的点可以互相到达，这实际上就是列出了一些方程然后高斯消元

代码

#include
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using namespace std;

const double INF=1e18;
const double eps=1e-12;
int n,m,s,t,dfs_clock,top,scc;
struct data{int x,y;}e[1000005];
int tot,point[10005],nxt[1000005],v[1000005];
int _tot,_point[10005],_nxt[1000005],_v[1000005];
int dfn[10005],low[10005],stack[10005],belong[10005];bool vis[10005],ext[10005];
int pt[10005][105],cnt[10005],num[10005],in[10005];
double out[10005],a[105][105],b[105],ans[105],f[10005];
queue <int> q;

void add(int x,int y)
{
    ++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
    ++_tot; _nxt[_tot]=_point[y]; _point[y]=_tot; _v[_tot]=x;
}
void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++dfs_clock;stack[++top]=x;vis[x]=1;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
        if (!dfn[v[i]])
        {
            tarjan(v[i]);
            low[x]=min(low[x],low[v[i]]);
        }
        else if (vis[v[i]])
            low[x]=min(low[x],dfn[v[i]]);
    if (dfn[x]==low[x])
    {
        int now=0;++scc;
        while (now!=x)
        {
            now=stack[top--];
            pt[scc][++cnt[scc]]=now;
            num[now]=cnt[scc];
            belong[now]=scc;
            vis[now]=0;
        }
    }
}
void dfs(int x)
{
    vis[x]=ext[belong[x]]=1;
    for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
        if (!vis[v[i]]) dfs(v[i]);
}
void gauss(int n)
{
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        int num=i;
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
            if (fabs(a[j][i])>fabs(a[num][i])) num=j;
        if (num!=i)
        {
            for (int j=1;j<=n;++j) swap(a[num][j],a[i][j]);
            swap(b[num],b[i]);
        }
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
            if (fabs(a[j][i])>eps)
            {
                double t=a[j][i]/a[i][i];
                for (int k=1;k<=n;++k)
                    a[j][k]-=a[i][k]*t;
                b[j]-=b[i]*t;
            }
    }
    for (int i=n;i>=1;--i)
    {
        for (int j=i+1;j<=n;++j) b[i]-=ans[j]*a[i][j];
        ans[i]=b[i]/a[i][i];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for (int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
        add(e[i].x,e[i].y);out[e[i].x]+=1.0;
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) out[i]=1.0/out[i];
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (!dfn[i]) tarjan(i);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dfs(s);
    if (!vis[t])
    {
        puts("INF");
        return 0;
    }
    for (int i=1;i<=m;++i)
        if (belong[e[i].x]!=belong[e[i].y])
            ++in[belong[e[i].x]];
    for (int i=1;i<=scc;++i)
        if (ext[belong[t]]&&belong[t]!=i&&!in[i])
        {
            puts("INF");
            return 0;
        }
    q.push(belong[t]);
    while (!q.empty())
    {
        int now=q.front();q.pop();
        memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        for (int i=1;i<=cnt[now];++i)
        {
            int x=pt[now][i];
            a[i][i]=1.0;
            if (f[x]) b[i]=f[x];
            if (x==t) continue;
            for (int j=point[x];j;j=nxt[j])
                if (belong[v[j]]==now)
                {
                    b[i]+=out[x];
                    a[i][num[v[j]]]-=out[x];
                }
        }
        gauss(cnt[now]);
        for (int i=1;i<=cnt[now];++i)
        {
            int x=pt[now][i];
            f[x]=ans[i];
            for (int j=_point[x];j;j=_nxt[j])
                if (belong[_v[j]]!=now)
                {
                    --in[belong[_v[j]]];
                    if (!in[belong[_v[j]]]) q.push(belong[_v[j]]);
                    f[_v[j]]+=(f[x]+1.0)*out[_v[j]];
                }
        }
    }
    printf("%.3lf\n",f[s]);
    return 0;
}