2019牛客暑期多校训练营(第一场)(B、C、E、F、H、I题待补、J)

特别感谢

教我C题的杭电大佬、叉姐的题解(看了还是啥也不会)

 

B.Integration(待定系数法)

2019牛客暑期多校训练营(第一场)(B、C、E、F、H、I题待补、J)_第1张图片

求上述式子的值,输出对分数取模的值,ai<=1e9,n<=1e3

赛中的时候用裂项拆项把两项相乘拆成两项相减,转移为长度-1的子问题,n方dp搞过去了

#include
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=1e3+10;
ll n,a[N],b[N],dp[N][N];
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
	ll ans=1;
	for(;n;n/=2,x=x*x%mod)
	if(n&1)ans=ans*x%mod;
	return ans;
}
ll upd(ll a)
{
	a%=mod;
	if(a<0)a+=mod;
	return a;
}
ll solve(ll l,ll r)
{
	if(~dp[l][r])return dp[l][r];
	if(l==r)return dp[l][r]=modpow(upd(2*a[l]),mod-2,mod);
	return dp[l][r]=upd(solve(l,r-1)-solve(l+1,r))*modpow(upd(b[r]-b[l]),mod-2,mod)%mod;
}
int main()
{
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)
		memset(dp[i],-1,sizeof dp[i]);
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			scanf("%lld",&a[i]);
			b[i]=a[i]*a[i];
		}
		printf("%lld\n",solve(1,n));
	}
	return 0;
}

2019牛客暑期多校训练营(第一场)(B、C、E、F、H、I题待补、J)_第2张图片

思路来源:https://blog.csdn.net/qq_41730082/article/details/96443875#commentsedit

待定系数设原式=C1/(a1^2 + x^2) + C2/(a2^2 + x^2) + …… + Cn/(an^2 + x^2) ,对于任意x都成立

要求C1,把整个式子两端同乘以(a1^2 + x^2),

这样原式分母里没有(a1^2 + x^2),且右边C2到Cn每一项都有分子(a1^2 + x^2),

此时令x=-a1,消去右边这些分子有(a1^2 + x^2)的项,解得C1,其余Ci同理

#include
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=1e3+10;
ll n,a[N],b[N],ans;
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
    ll res=1;
    for(;n;n/=2,x=x*x%mod)
        if(n&1)res=res*x%mod;
    return res;
}
int main()
{
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
        ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%lld",&a[i]);
            b[i]=a[i]*a[i];
        }
		for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            ll mul=1;
            for(int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(j==i)continue;
                mul=mul*((b[j]-b[i])%mod+mod)%mod;
            }
            ans+=modpow(mul%mod*2*a[i]%mod,mod-2,mod);
            if(ans>=mod)ans%=mod;
        }
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

C.Euclidean Distance(贪心构造导数)

在n(n<=1e4)维空间内有一点A(a1/m,a2/m,...,an/m)(1<=m<=1e3,-m<=ai<=m),

求一点B,B的每维非负,且和为1,使得AB的欧几里得距离的平方最小,其为对应维度的距离的平方之和

可以证明最终结果是一个有理数,以分数格式输出

2019牛客暑期多校训练营(第一场)(B、C、E、F、H、I题待补、J)_第3张图片

考虑要求和的式子\sum_{i=1}^{n} \frac{(m*p[i]-a[i])^{2}}{m^{2}},令x[i]=m*p[i]-a[i]

即分配完非负的m*p[i]使总和为m,且令x[i]^{2}和最小,考虑x[i]^{2}的导数为2*x[i],那么x[i]越近零越好

由于分配的值非负,所以只能把导数往上加,那么应该先加负的,再加正的

对于负数,先处理导数绝对值最大的(也就是值最小的),这样降的△量最大,

对于正数,先处理导数最小的,这样增的△量最小

所以先将x[i]从小到大排序,然后将前i个的导数都分配为第i个的值,

当到第k个无法分配时退出,并将m剩余量摊回给前k个

注意到耗费相同的分配值,分配给导数最小的那些值,对答案起的贡献最大,

所以,就一层一层地往上提最小的导数,直到不能提为止

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e4+5;
ll n,m,a[N],x[N],now;
ll i,son,fa,g;
//sigma((m*p[i]-a[i])*(m*p[i]-a[i]))/(m*m)
//x[i]=m*p[i]-a[i] 初始令x[i]=-a[i],分配m*p[i]使总和为m
//若最后余now 均分给前k个
int main()
{
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
           scanf("%lld",&a[i]);
           x[i]=-a[i];
        }
        sort(x+1,x+n+1);
        now=m;
        for(i=1;inow)break;//把前面所有值都降到x[i+1]
            now-=(x[i+1]-x[i])*i;
        }
        son=(now+x[i]*i)*(now+x[i]*i);//(now/i+x[i]*i)*(now/i+x[i]*i)*i 分子分母同乘i
        fa=i*m*m;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        son+=i*x[j]*x[j];
        g=__gcd(son,fa);
        son/=g;fa/=g;
        if(fa==1)printf("%lld\n",son);
        else printf("%lld/%lld\n",son,fa);
    }
    return 0;
}

E.ABBA(dp)

现有长度为2*(n+m)(n,m<=1e3)的只由A和B构成的串,求满足下列条件的串的个数

条件:串可以被拆成n+m个长度为2的互不重叠的子序列,使得其中恰有n个为AB,m个为BA

 

假设dp[i][j]表示为当前有i个A字母,j个B字母且匹配了min(i,j)个A、B对,我们可以适当安排使得其为AB或BA

但无论怎么安排,多出来的那些字母只能当后续字母的前缀,

即若i>j,i-j个A只能去配AB;同理,若j>i,j-i个B只能去配AB,

所以存在一个对后续状态的影响问题,当i-j>n时,后续还要配>n个AB,这显然不满足题意要求,j-i>m同理,

其余都可行,认为当前状态合法,才能转移到下一个合法状态

实际实现时,可以考虑只记录A、B的差值,用偏移量来维护,每次枚举这一位填A还是填B

#include
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=2e3+5;
const int off=1050;
int n,m,dp[2*N][2*N];//dp[i][j] 表示到第i个字母 A比B多j个
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=2*(n+m);++i)
        memset(dp[i],0,sizeof dp[i]);
        dp[0][off]=1;
        for(int i=1;i<=2*(n+m);++i)
        {
            for(int j=-m;j<=n;++j)
            {
                if(j-1>=-m)(dp[i][j+off]+=dp[i-1][j-1+off])%=mod;
                if(j+1<=n)(dp[i][j+off]+=dp[i-1][j+1+off])%=mod;
            }
        }
        printf("%d\n",dp[2*(m+n)][off]);
    }
    return 0;
}

F.Random Point in Triangle(梅涅劳斯定理or期望)

给三个点坐标ABC(xi,yi)(|xi|,|yi|<=1e8),不保证一定构成三角形

在构成三角形的条件下,在形内随机掷点P,连接PA PB PC,将每次的贡献记为三个三角形最大的那个的面积

求36*面积的期望值E

 

据叉姐讲是梅涅劳斯定理,会这题的大佬daidaiwo呀……

后记:https://www.cnblogs.com/WAautomaton/p/11211864.html 变积分为期望的做法

 

答案是22倍三角形面积,即11倍向量叉积

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pairP;
#define fi first
#define se second
P a[3];
int main()
{
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a[0].fi,&a[0].se,&a[1].fi,&a[1].se,&a[2].fi,&a[2].se))
    {
        for(int i=1;i<3;++i)
        {
            a[i].fi-=a[0].fi;
            a[i].se-=a[0].se;
        }
        ll res=(a[1].fi*a[2].se-a[1].se*a[2].fi);
        if(res<0)res=-res;
        printf("%lld\n",res*11);
    }
    return 0;
}

H.Xor(异或线性基+枚举贡献)

给你n(n<=1e5)个整数,第i个数为ai(ai<=1e18),

若子集S的异或和的0,则将S的大小|S|加到答案中去,求答案

 

思路来源:https://blog.nowcoder.net/n/01d1e47b322845f2b931adef91ce31bb

 

考虑枚举每个i的贡献,即对于ai,它在多少个异或和为0的集合中,最后求和

先求出原序列的异或线性基b,其秩为|r|,考虑n-|r|个非基元素

 

①枚举的值x是非基元素,从n-|r|个非基元素中取出一个,n-|r|种取法

对于每种取法,剩n-|r|-1个非基元素,每个值都可以可选可不选二选一,2^{n-|r|-1}种可能凑出来的集合T,

而线性基一定能异或出一个一样的集合V,使得T∪V异或和为0

 

②枚举的值x是基b内元素,考虑对n-|r|个非基元素再做一个线性基other,

other需要将(基b去掉x的基)合并进来,记为基tmptmp一定能异或出除x外的所有值,

如果tmp能异或出x,则这个值对答案的贡献为2^{n-|tmp|-1},证明同①

否则,tmp无论怎么取,都不能使必选出x的集合异或和为0,没贡献

 

考虑到插入基b的过程会不断异或使得a[i]发生变化,所以开一个vector存一下基b中对应的原值

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int lg=70;
const int N=1e5+10;
vectorc;//存b基内的原值 
int n,sz,tot;//tot 当前在基内的元素个数 
ll ans; 
ll a[N],b[lg],other[lg],tmp[lg];//三个基 
bool vis[N];
int modpow(int x,int n,int mod)
{
	int ans=1;
	for(;n;n/=2,x=1ll*x*x%mod)
	if(n&1)ans=1ll*ans*x%mod;
	return ans;
}
bool ins(ll x,ll base[])
{
    for(int i=63;i>=0;--i)
	{
        if(x&(1ll<

I.Points Division(线段树+dp)

留坑待补

 

J.Fraction Comparision(思维题)

给两个分数x/a和y/b(0<=x,y<=1e18,1<=a,b<=1e9),比较大小

 

分数比较大小,可能会爆long long,赛中是java大数过的

先比较整数部分,再比较余数部分,余数分子肯定小于max(a,b),max(a,b)*max(a,b)不爆long long

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,a,y,b;
ll u[2],v[2];
int main()
{
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&y,&b))
    {
        u[0]=x/a;u[1]=y/b;
        if(u[0]u[1])puts(">");
        else
        {
            v[0]=x%a;v[1]=y%b;
            if(v[0]*bv[1]*a)puts(">");
            else puts("=");
        }
    }
    return 0;
}

 

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