【树状数组详解】从入门到各种实用技巧

入门级

引入

先看一道模板题洛谷P3374
题意是:维护一个序列，要求支持两种操作:

1. 把元素$x$的值修改成$y$
2. 查询区间$[x,y]$的和
   依然可以用暴力，时间复杂度$O(N^2)$，太慢了，出题人不会那么善意的让暴力过掉的
   那么，我们需要优化到$O(N\log N)$，才能过
   看过线段树的同学肯定一下看出来可以用线段树做，但是，线段树的常数比较大，
   一些比较恶意的出题人依然会把它卡掉，所以我们需要常数更小的做法
   而且代码量那么大，能用树状数组我才懒得打线段树

---

我们先不考虑修改操作，先考虑查询操作
因为我们查询的是和，我们就可以先预处理出前缀和，然后查询就会很方便
这时候我们再来考虑修改操作，正常更新前缀和的时间复杂度是$O(n)$的
但是树状数组可以神奇地把它优化到$O(logn)$，代价是查询变成$O(logn)$，但比我们的暴力还是要优秀不少的
然后我们就要用到树状数组了

正题

1. lowbit函数

这个函数非常重要，它几乎贯彻整个树状数组

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

$lowbit(x)=2^{x在二进制下从右往左数第一个1的位置-1}$
比如$5_{(10)}=101_{(2)}$那么$lowbit(5)=1_{(2)}=1_{(10)}$
$6_{(10)}=110_{(2)}$那么$lowbit(6)=10_{(2)}=2_{(10)}$

2. 树状数组的结构

树状数组算是树型结构了，但在代码中是以数组的形式体现
大小为$8$树状数组长这个样子(红色的是边)

不难看出第$i$号节点的父亲是第$i+lowbit(i)$号节点
树状数组的第$x个节点$表示的是${\Sigma }_{i=x-lowbit(x)+1}^{x}a[i]$
乍一看好像没什么用，还很复杂，事实上是非常好用的东西

3. 重点:原理

不把这里看懂的话，大概两天之后你就会忘掉到底要怎么写树状数组
树状数组利用了类似于倍增 大概是吧 的想法，结构神奇，但是非常巧妙

查询

假如我们要查询11~$7$的前缀和，那么我们需要的值就是$7$号节点的值、$6$号节点的值和$4$号节点的值
这些节点之间看起来没有什么关系    ~~   反正我第一次没看出什么关系~~，但是我们把它们转成二进制：
$7_{10}=111_2$
$6_{10}=110_2$
$4_{10}=100_2$
$0_{10}=000_2$
如果没看出关系的同学，可以再看下一组数据：
假如我们要查询$1$~$5$的前缀和，那么我们需要的值就是$5$号节点的值和$4$号节点的值
$5_{10}=101_2$
$4_{10}=100_2$
0_{10}=000_{2}$

可以再举一个例子：
假如我们要查询$1$~$45$的前缀和，那么我们需要的值就是$45$号节点的值、$44$号节点的值
$45_{10}=101101_2$
$44_{10}=101100_2$
$40_{10}=101000_2$
$32_{10}=100000_2$
$0_{10}=00000_2$
规律就出来了：下一个所查找的数的下标=这个数的下标-$lowbit($这个数的下标$)$
简单来说就是把现在的数的下标在二进制中的最后一个$1$变成$0$，直到这个数为0为止
这就和我们树状数组的结构很有关系了：

树状数组的第$x个节点$表示的是${\Sigma }_{i=x-lowbit(x)+1}^{x}a[i]$

这样统计前缀和的方式是非常巧妙的，因为我们如果有$n$个元素，那么它最多有$\lceil lo{g}_{2}n\rceil$个1，则时间复杂度是$O(\log N)$的

---

修改

当我们要修改一个值的时候，我们还要把它影响的值全部修改
假如我们要把第$7$号的节点的值加上$x$，那么编号为$7$、$8$的节点的值均要加上$x$
同样是换成二进制：
$7_{10}=0111_2$
$8_{10}=1000_2$
再来两个例子：
假如我们要把第$5$号的节点的值加上$x$，那么编号为$5$、$6$、$8$的节点的值均要加上$x$
$5_{10}=0101_2$
$6_{10}=0110_2$
$8_{10}=1000_2$
假如我们要把第$45$号的节点的值加上$x$，那么编号为$7$、$8$的节点的值均要加上$x$
$45_{10}=0101101_2$
$46_{10}=0101110_2$
$48_{10}=0110000_2$
$64_{10}=1000000_2$
规律是：下一个所修改的数的下标=这个数的下标+$lowbit($这个数的下标$)$
同样，时间复杂度是$O(\log N)$

4. 树状数组的查询（代码）

树状数组不支持任意区间查询，只支持查询前缀
但是查询到前缀后，我们就可以得出答案
巧妙的使用$lowbit$函数
时间复杂度$O(\log N)$

void get_sum(int x){//查询1到x的和
	int re=0;
	while(x){
		re=re+sum[x];
		x=x-lowbit(x);
	}
}

5. 树状数组的修改（代码）

树状数组不支持区间修改，只支持单点修改
要修改一个点的值之后，还需要把它到根的路径上的点进行维护
时间复杂度$O(\log N)$

void update(int x,int y){//把第x个元素加y
	while(x<=n){
		sum[x]=sum[x]+y;
		x=x+lowbit(x);
	}
}

6. 模板题代码

于是我们就把模板题做出来了：

#include

using namespace std;

const int MAXN=500001;

int n,m,x,y,t,sum[MAXN];

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

void update(int x,int y){//把第x个元素加y
	while(x<=n){
		sum[x]=sum[x]+y;
		x=x+lowbit(x);
	}
}

int get_sum(int x){//查询1到x的和
	int re=0;
	while(x){
		re=re+sum[x];
		x=x-lowbit(x);
	}
	return re;
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		update(i,x);
	}
	while(m--){
		scanf("%d",&t);
		if(t==1){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			update(x,y);
		}else{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			printf("%d\n",get_sum(y)-get_sum(x-1));
		}
	}
}

提高级

先看一道模板题洛谷P3368

题意是:
维护一个长度为$n$的区间，要求支持两个操作

1. 把区间$[l,r]$之间的值加上$x$
2. 输出第$x$号节点的值

分析
很明显出题人不会那么善意的让暴力过掉，$n,m\le 500000$的大数据让我们必须要拿出$O(\log N)$或更优的算法
那么我们又怎么和树状数组扯上关系呢
我们知道树状数组只可以解决有关于前缀的问题
那么我们考虑把区间修改操作换成两个修改后缀的操作
也就是，我们可以把区间$[l,r]$的值加上$x$的操作改成$[l,n]$加上$x$,$[r+1,n]$加上$-x$
那么我们就可以很容易用树状数组操作了
上代码

#include

using namespace std;

const int MAXN=5000002;

int n,m,l,r,t,x,sum[MAXN];

int lowbit(int x){return x&(-x);}

void update(int x,int y){while(x<=n){sum[x]=sum[x]+y;x=x+lowbit(x);}}

int get_sum(int x){int re=0;while(x){re=re+sum[x];x=x-lowbit(x);}return re;}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        update(i,x);update(i+1,-x);
    }
    while(m--){
        scanf("%d",&t);
        if(t==1){
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
            update(l,x);update(r+1,-x);
        }else{
            scanf("%d",&x);
            printf("%d\n",get_sum(x));
        }
    }
}

---

再补充一种神奇的用法：

Apple tree

翻译后：

在卡卡的家门前有一棵苹果树，每个秋天都会结许多苹果。卡卡非常喜欢苹果，所以他总是悉心照料这棵大苹果树。

这棵树有n个分叉点，并且它们之间有树枝连接。卡卡将这些分叉点编号，并且树根的编号总是1。苹果就长在这些分叉点上，当然一个分叉点不会长出两个及以上的苹果。卡卡想要知道一棵子树中有多少苹果，以此来了解这棵苹果树的生产能力。

现在的麻烦是，有些时候，卡卡会从树上摘下苹果，而有些时候，一个没有苹果的分叉点上又会长出苹果。你能帮卡卡处理这个问题吗？

Input
输入文件第一行是一个正整数n(1<=n<=100000)，代表苹果树的分叉点数。

接下来n-1行，每行两个整数u和v，代表分叉点u和v之间有一根树枝相连。

第n行包含一个正整数m(1<=m<=100000)，代表操作的数目。

接下来m行，每行代表一个操作。操作可以是以下两种之一：

（1）“C x”代表在分叉点x上的苹果状态被改变了。也就是说，如果之前分叉点x上有苹果，那么现在就被摘掉了；反之，如果以前没有苹果，那么现在就长出了一个苹果。

（2）“Q x”代表查询以分叉点x为根的子树中一共有多少苹果（包括x上的苹果，如果分叉点上x上有苹果的话）

一开始，树上长满了苹果。

Output

对每个查询，输出一行一个整数，代表该子树上的苹果个数。

Sample Input

3
1 2
1 3
3
Q 1
C 2
Q 1

Sample Output

3
2

题解：
先想一下暴力算法，一共有两种：

1. 更改直接更改节点的值，查询时遍历整颗子树，更改$O(1)$，查询$O(N)$，可以卡掉
2. 更改时遍历更改节点的所有祖先，查询就可以做到$O(1)$，但是修改可以卡到$O(N)$（当树退化成链），照样卡掉

那么我们可以将查询的时间复杂度与修改的时间复杂度均衡一下，都变成$O(\log N)$，就可以过了

下面才是正题：

我们考虑把树用dfn序表示

（这里是对dfn序的介绍，了解过的同学可以跳过）

dfn序就是我们在对树进行遍历时的遍历出来的序列，顺序是先遍历根，后遍历子树，类似于二叉树的先序遍历，但我们现在所讨论的遍历是对于多叉树的

比如我们对下面的树进行遍历时，dfn序就是ABEGHCDF

不难看出dfn序的一个性质：一个节点的后代在dfn序中是相邻的

写一下遍历的代码:

void dfs(int now){//有根树的遍历，无根树在遍历时要加上到父亲的特判
    dfn[++cnt]=now;//cnt是时间戳，dfn数组里存的是dfn序
    in[now]=cnt;//in数组存的是now的子树在dfn序中对应的序列的开头的下标
    for(int i=head[now];~i;i=nxt[i])dfs(child[now]);//对儿子进行遍历
    out[now]=cnt;//out数组存的是now的子树在dfn序中对应的序列的末尾的下标
}

我们可以巧妙领dfn序的性质，把树表示成一维的，同时使用查分的思想，把答案统计转换成前缀和的统计

然后就可以用树状数组处理这一题了，查询和修改的时间复杂度都是$O(\log N)$

上面可能讲的不够清楚，不懂得同学可以对照代码理解一下

#include

using namespace std;

int n,x,y,q,cnt,a[1000001],in[1000001],out[1000001],v[1000001],nxt[1000001],head[1000001];
bool tf[1000001];//tf数组储存第i号节点有没有苹果
char st[2];

void add_edge(int x,int y){//加双向边
	v[++cnt]=x;nxt[cnt]=head[y];head[y]=cnt;
	v[++cnt]=y;nxt[cnt]=head[x];head[x]=cnt;
}

int low_bit(int x){
	return x&(-x);
}

void add(int x,int y){//树状数组更新
	while(x<=n){
		a[x]=a[x]+y;
		x=x+low_bit(x);
	}
}

int sum(int x){//树状数组求和
	int ans=0;
	while(x>0){
		ans=ans+a[x];
		x=x-low_bit(x);
	}
	return ans;
}

int ans(int x,int y){//查分
	return sum(y)-sum(x-1);
}

void dfs(int now,int la){//处理出dfn序
	in[now]=++cnt;
	for(int i=head[now];i!=0;i=nxt[i])if(v[i]!=la)dfs(v[i],now);
	out[now]=cnt;
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add_edge(x,y);
	}
	cnt=0;
	dfs(1,-1);//dfn序
	for(int i=1;i<=n;i++)add(i,1),tf[i]=true;//一开始树的每个节点都有苹果
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		scanf("%s%d",st,&x);
		if(st[0]=='Q')printf("%d\n",ans(in[x],out[x]));else{
			if(tf[in[x]])add(in[x],-1);//有苹果就摘掉
			else add(in[x],1);//没苹果就长出来
			tf[in[x]]=!tf[in[x]];
		}
	}
}

---

小结：

树状数组的基本知识到这里就差不多讲完了，实际应用很广，不可能一篇博客写完，遇到可以查分的问题可以向查分想想，大概就是这样了