2-SAT问题

给定一个由N个bool值组成的序列A，给出一些限定关系，确定序列中每个元素的值，使其满足所有限制关系。这个称为SAT关系。

特别的，如果每种关系中最多只对两个元素进行限制，则称为2-SAT问题，即二元可满足性问题。

由于在2-SAT问题中，最多只对两个元素进行限制，所以可能的限制关系共有11种：
A[x]
NOT A[x]
A[x] AND A[y]
A[x] AND NOT A[y]
A[x] OR A[y]
A[x] OR NOT A[y]
NOT (A[x] AND A[y])
NOT (A[x] OR A[y])
A[x] XOR A[y]
NOT (A[x] XOR A[y])
A[x] XOR NOT A[y]
进一步，A[x] AND A[y]相当于(A[x]) AND (A[y])（也就是可以拆分成A[x]与A[y]两个限制关系），NOT(A[x] OR A[y])相当于NOT A[x] AND NOT A[y]（也就是可以拆分成NOT A[x]与NOT A[y]两个限制关系）。因此，可能的限制关系最多只有9种。

在实际问题中，2-SAT问题在大多数时候表现成以下形式：有N对物品，每对物品中必须选取一个，也只能选取一个，并且它们之间存在某些限制关系（如某两个物品不能都选，某两个物品不能都不选，某两个物品必须且只能选一个，某个物品必选）等，这时，可以将每对物品当成一个布尔值（选取第一个物品相当于0，选取第二个相当于1），如果所有的限制关系最多只对两个物品进行限制，则它们都可以转化成9种基本限制关系，从而转化为2-SAT模型

构图：

     建立一个2N阶的有向图，其中的点分为N对，每对点表示布尔序列A的一个元素的0、1取值（以下将代表A[i]的0取值的点称为i，代表A[i]的1取值的点称为i'）。显然每对点必须且只能选取一个。然后，图中的边具有特定含义。若图中存在边，则表示若选了i必须选j。可以发现，上面的9种限制关系中，后7种二元限制关系都可以用连边实现，比如NOT(A[x] AND A[y])需要连两条边和，A[x] OR A[y]需要连两条边和。而前两种一元关系，对于A[x]（即x必选），可以通过连边来实现，而NOT A[x]（即x不能选），可以通过连边来实现。

一个可行的算法：

   对所构的有向图进行dfs染色，如果将i染成红色，那么就把i‘染成蓝色，如果存在i的后继j是蓝色就说明这种方式找不到可行解，回溯，将i’染成红色，如果仍然找不到可行解，就说明原问题无解，否则可以找到符合条件的解。

  详细的思路如下：

（1）给每个点设置一个状态V，V=0表示未确定，V=1表示确定选取，V=2表示确定不选取。称一个点是已确定的当且仅当其V值非0。设立两个队列Q1和Q2，分别存放本次尝试选取的点的编号和尝试不选的点的编号。
（2）若图中所有的点均已确定，则找到一组解，结束，否则，将Q1、Q2清空，并任选一个未确定的点i，将i加入队列Q1，将i'加入队列Q2；
（3）找到i的所有后继。对于后继j，若j未确定，则将j加入队列Q1；若j'（这里的j'是指与j在同一对的另一个点）未确定，则将j'加入队列Q2；
（4）遍历Q2中的每个点，找到该点的所有前趋（这里需要先建一个补图），若该前趋未确定，则将其加入队列Q2；
（5）在（3）（4）步操作中，出现以下情况之一，则本次尝试失败，否则本次尝试成功：
<1>某个已被加入队列Q1的点被加入队列Q2；
<2>某个已被加入队列Q2的点被加入队列Q1;
<3>某个j的状态为2；
<4>某个i'或j'的状态为1或某个i'或j'的前趋的状态为1；
（6）若本次尝试成功，则将Q1中的所有点的状态改为1，将Q2中所有点的状态改为2，转（2），否则尝试点i'，若仍失败则问题无解。
  该算法的时间复杂度为O(NM)（最坏情况下要尝试所有的点，每次尝试要遍历所有的边），但是在多数情况下，远远达不到这个上界。
  该算法虽然时间复杂度比较高，但是可以找到字典序最小的解，或者可以满足题目对输出的特殊要求。

一个更优的算法：

  根据图的对称性，可以将图中所有的强连通分支全部缩成一个点（同一个强连通分支中的点要么都选，要么都不选），然后按照拓扑逆序，每次找出出度为0的点，具体实现时，在建分支邻接图时将所有边取反，遍历分支邻接图，将这个点表示的连通分支选上，将其所有的对立点（连通分支对立的连通分支可能有多个，若对于两个连通分支s1,s2，点i在s1中，点i'在s2中，则s1和s2对立）及这些对立点的前驱全部标记为不选，知道所有点均被标记为止。

   若求出所有强连通分支后，存在i,i'属于同一个强连通分支，那么原问题无解，否则必有解。

  由于求强连通分支的时间复杂度是O(M),拓扑排序的时间复杂度也是O(M)，所有总的时间复杂度是O(M)

例题：

 hdu 1814 

  直接构图，dfs求出字典序最小的解

 题解地址：http://blog.csdn.net/ezcufst/article/details/47008027