洛谷P1850 [NOIP2016]换教室
链接
https://www.luogu.org/problem/show?pid=1850
离散型随机变量的数学期望
在高中的数学学习中，我们学习了概率，并且接触到了离散型随机变量的分布列。
在这里，我把离散型随机变量的数学理解为分布列中每个X的取值乘以其概率的和。期望型dp还要多做题多积累，这样才能逐渐加强理解。
百度百科：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率pi乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望
初学者的纠结
在我的前一篇文章中，介绍了“绿豆蛙的归宿”这道题目，那道题目中，决策是固定的，我们只需要求出期望。我用了顺推的方法，设f[i]表示从起点跳到这个点的期望值，p[i]表示从起点跳到这个点的概率，那么对于点u的一条权值为w的出边(u,v)，这样更新答案： f[v]+=(f[u]+w×p[u])cd[u] 。
举个例子，上面这个就是点u，其中进来的边表示了全部三条可能的路径（注意是路径不是边），花费分别是c1、c2、c3，概率分别是p1、p2、p3，那么根据期望的定义， f[u]=p1c1+p2c2+p3c3 。假设我们已经知道了 f[u] 的值，有一条出边(u,v,w)，显然点u对点v的贡献就是 [p1(c1+w)+p2(c2+w)+p3(c3+w)]/cd[u] ，将 f[u] 带入，式子化为 [f[u]+w(p1+p2+p3)]/cd[u] ，因此我才会维护一个概率之和 p[i] ，转移方程 f[v]+=(f[u]+w×p[u])cd[u] 的意思也就解释完了。
题解
这道题和那个不一样，决策不是固定的，决策要由你来做出。
f[i][j][0/1] 表示已经考虑了前i门课程，申请了j次教室，这个教室有没有申请更换的期望。
直接列出转移方程。
f[i][j][0]=min⎧⎩⎨⎪⎪f[i−1][j][0]+dist[c[i]][d[i−1]]f[i−1][j][1]+dist[c[i]][c[i−1]](1−k[i])+dist[c[i]][d[i−1]]k[i]
f[i][j][1]=min⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f[i−1][j−1][0]+dist[c[i]][c[i−1]](1−k[i])+dist[d[i]][c[i−1]]k[i]f[i−1][j−1][1]+dist[c[i]][c[i−1]](1−k[i])(1−k[i−1])+dist[c[i]][d[i−1]](1−k[i])k[i−1]+dist[d[i]][c[i−1]]k[i](1−k[i−1])+dist[d[i]][d[i−1]]k[i]k[i−1]
作为一名初学者，对于这个方程的正确性纠结了好长时间，对于上面提到的 绿豆蛙的归宿那道题，期望在转移的时候要乘上概率，而这个方成里，期望的转移却没有乘上概率，这是为什么？
详细考虑之后，发现其实这个式子中也含有了概率，只不过所有概率的和加起来等于1，所以略去了而已。这道题和绿豆蛙的不同在于，它的每一个状态的概率都是1，绿豆蛙中所有状态的概率加起来等于1。其实就是说绿豆蛙中，它怎么跳已经是固定的了，只要你算个期望，但在这道题目中，你要帮他做出决策，因此每种可能的决策的状态概率肯定是1。这两道题目的状态设计在本质上有不同，绿豆蛙中一个状态只是一个中间量，但换教室中一个状态就代表了一种可能的结果。
代码
//期望DP
#include void dp()
{
int i, j;
double t;
for(i=0;i<=M;i++)f[1][i][0]=f[1][i][1]=1e60;
f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;
for(i=2;i<=N;i++)
for(j=0;j<=M;j++)
{
f[i][j][0]=f[i][j][1]=1e60;
t=1e60;
t=min(t,f[i-1][j][0]+dis[c[i]][c[i-1]]);
t=min(t,f[i-1][j][1]+dis[c[i]][c[i-1]]*(1-k[i-1])+dis[c[i]][d[i-1]]*k[i-1]);
f[i][j][0]=t;
if(!j)continue;
t=1e60;
t=min(t,f[i-1][j-1][0]+dis[c[i]][c[i-1]]*(1-k[i])+dis[d[i]][c[i-1]]*k[i]);
t=min(t,f[i-1][j-1][1]+dis[c[i]][c[i-1]]*(1-k[i])*(1-k[i-1])
+dis[c[i]][d[i-1]]*(1-k[i])*k[i-1]
+dis[d[i]][c[i-1]]*k[i]*(1-k[i-1])
+dis[d[i]][d[i-1]]*k[i]*k[i-1]);
f[i][j][1]=t;
}
t=1e60;
for(i=0;i<=M;i++)t=min(t,min(f[N][i][0],f[N][i][1]));
printf("%.2lf",t);
}
int main()
{
init();
dp();
return 0;
}