逆元 递推求逆元

其实有些题需要用到1-p模p的所有逆元，这里p为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为O(p log(p))，
如果对于一个1000000级别的素数，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法，有一个递推式如下

inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M (其中M为模数，要求为奇质数)

它的推导过程如下：

设t=M/i,k=M%i，那么
    t*i+k≡0（Mod M）
    -t*i≡k(Mod M)
对上式两边同时除 i×k，进一步得到
    -t*inv[k]≡inv[i](Mod M)
再把和替换掉，最终得到
    inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M

初始化inv[1]=1，这样就可以通过递推法求出模素数的所有逆元了。

另外1-p模的所有逆元值对应1-p中所有的数，比如p=7，那么对应的逆元是1 4 5 2 3 6。

代码：

    #include  
    #include  
    #include  
    #include  
    #include  
    #include  
    using namespace std;  
    int A[100001];  
    int p;  
    int main()  
    {  
        cin>>p;  
        A[1]=1;  
        for(int i=2;i<=10;i++)  
            {  
                A[i]=(p-(p/i))*A[p%i]%p;  
                printf("%d %d %d\n",i,A[i],(i*A[i])%p);  
            }  
    }  

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顺便复习一下逆元：

方法1：扩展欧几里得。  ax=1(mod P), gcd(a,p)=1， 其中x为a的逆元，就是我们所求，ax=PY+1,   ax-Py=1,  所以用扩展欧几里得可以求出x。

方法2：费马小定理：  如果模P是素数的话，那么inv(a)=pow(a,p-2)%p; 等式右边用快速幂运算可以得出。

^_^