【bzoj 4451】[Cerc2015]Frightful Formula - 递推

　　才没有在做cerc2015呢
　　看到好像不少人这题写fft卡得死死的啊，不如 O(n) 递推（雾）
　　首先可以观察出 (i,1) 这个格子为 x 时对 (n,n) a,b 单独的贡献为 x(n−2+n−in−i)an−1bn−i ， (1,i) 格子同理。这两部分可以直接xjb算出来。
　　考虑 (i,j) 格子的 c 对 (n,n) 的贡献，为

∑i=2n∑j=2n((n−i)+(n−j)n−i)an−ibn−jc

　　后面的 c 先不管，先把这个式子xjb变换一下。
　　

∑i=2nan−i∑j=2n(2n−i−jn−i)bn−j　　=∑i=0n−2ai∑j=0n−2(i+ji)bj

　　其实推到这里就可以做了，注意到把组合数拆开了之后是两个指数生成函数的卷积的系数和（差不多这个意思），就可以直接上fft了。
　　 但是这样太优美了不够暴力
　　继续把它推下去吧。
　　我们设

fn=∑i=0nai∑j=0n(i+ji)bj

　　那么答案就是 fn−2 ，现在考虑怎么搞出个递推式。我们可以把前 n−1 项都提出来。
　　

fn=fn−1+an∑i=0n−1(n+ii)bi+bn∑i=0n−1(n+ii)ai+(2nn)anbn

　　注意到中间有两个东西是一样的，那么可以继续设

gn(x)=∑i=0n−1(n+ii)xi

　　把组合数拆了，继续推吧= =
　　

gn(x)=∑i=0n−1((n−1+ii)+(n−1+ii−1))xi　　=gn−1(x)+(2n−2n−1)xn−1+∑i=0n−2(n+ii)xi+1=gn−1(x)+(2n−2n−1)xn−1+xgn(x)−(2n−1n−1)xn

　　移一下项，得到
　　

gn(x)=(gn−1(x)+(2n−2n−1)xn−1−(2n−1n−1)xn)/(1−x)

　　把 gn(x) 代入 fn ，有
　　

fn=fn−1+angn(b)+bngn(a)+(2nn)anbn

　　好的到这里 gn(x) 就可以 O(n) 算了。。。于是 fn 也可以 O(n) 算了。
　　注意一下 gn(0) 和 gn(1) 不用递推，直接算就好。
　　于是在 O(n) 内就做完啦。
　　代码太丑就不贴了。