一个组合恒等式的证明

前言

昨天上组合数学，老师列出一个公式，大家都不会证明。然后一个很dark的学弟说要用二项式反演，看着就晕。后来我终于找到了简单的证明方法。

求证：

(n1)1−(n2)2+(n3)3+......+(−1)n−1(nn)n=1+12+13+......+1n ( n 1 ) 1 − ( n 2 ) 2 + ( n 3 ) 3 + . . . . . . + ( − 1 ) n − 1 ( n n ) n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . . . . + 1 n

证明：

设

P(n):(n1)1−(n2)2+(n3)3+......+(−1)n−1(nn)n=1+12+13+......+1n P ( n ) : ( n 1 ) 1 − ( n 2 ) 2 + ( n 3 ) 3 + . . . . . . + ( − 1 ) n − 1 ( n n ) n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . . . . + 1 n

当 n=1 n = 1 时， (11)1=1 ( 1 1 ) 1 = 1 ， P(1) P ( 1 ) 成立；
考虑当 P(n) P ( n ) 成立时， P(n+1) P ( n + 1 ) 是否成立：
左边即 ∑n+1k=1(−1)k−1(n+1k)k ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n + 1 k ) k
我们考虑对于 (n+1k)k ( n + 1 k ) k ，
有：

(n+1k)k=(nk)k+(nk−1)k ( n + 1 k ) k = ( n k ) k + ( n k − 1 ) k

则

∑k=1n+1(−1)k−1(n+1k)k=∑k=1n+1(−1)k−1(nk)k+∑k=1n+1(−1)k−1(nk−1)k ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n + 1 k ) k = ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n k ) k + ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n k − 1 ) k

由 P(n) P ( n ) 成立，可知：

∑k=1n(−1)k−1(nk)k=∑i=1n1i ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) k = ∑ i = 1 n 1 i

而 ∑n+1k=1(−1)k−1(nk)k ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n k ) k 展开后最后一项 (−1)n(nn+1)n+1=0 ( − 1 ) n ( n n + 1 ) n + 1 = 0 ，那么就有：

∑k=1n+1(−1)k−1(nk)k=∑i=1n1i ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n k ) k = ∑ i = 1 n 1 i

下证 ∑n+1k=1(−1)k−1(nk−1)k=1n+1 ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n k − 1 ) k = 1 n + 1 ：
考虑对于 (nk−1)k ( n k − 1 ) k ，有：

(nk−1)k=n!(k−1)!(n−k+1)!k=n!k!(n+1−k)!=1n+1∗(n+1)!k!(n+1−k)!=1n+1∗(n+1k) ( n k − 1 ) k = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k + 1 ) ! k = n ! k ! ( n + 1 − k ) ! = 1 n + 1 ∗ ( n + 1 ) ! k ! ( n + 1 − k ) ! = 1 n + 1 ∗ ( n + 1 k )

则

∑k=1n+1(−1)k−1(nk−1)k=1n+1∗((n+11)−(n+12)+(n+13)−...+(−1)n(n+1n+1)) ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n k − 1 ) k = 1 n + 1 ∗ ( ( n + 1 1 ) − ( n + 1 2 ) + ( n + 1 3 ) − . . . + ( − 1 ) n ( n + 1 n + 1 ) )

当然，这里用到一个基本结论（就不作证明了）：

(n0)+(n2)+...=(n1)+(n3)+...=2n−1 ( n 0 ) + ( n 2 ) + . . . = ( n 1 ) + ( n 3 ) + . . . = 2 n − 1

移项得

(n1)−(n2)+(n3)−(n4)+...=(n0)=1 ( n 1 ) − ( n 2 ) + ( n 3 ) − ( n 4 ) + . . . = ( n 0 ) = 1

那么就证明了 ∑n+1k=1(−1)k−1(nk−1)k=1n+1 ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n k − 1 ) k = 1 n + 1
则

∑k=1n+1(−1)k−1(n+1k)k=1+12+13+...+1n+1 ∑ k = 1 n + 1 ( − 1 ) k − 1 ( n + 1 k ) k = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + 1

所以， P(n+1) P ( n + 1 ) 成立。
综上， P(n) P ( n ) 对 ∀n∈N ∀ n ∈ N 成立。
证毕。